Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
(29')
(/=1,2),
Ic-1IGjPjXnjI (300
Avi = -— Ini,
3 mJ J
А®г
где, отмечая, как обычно, знаками — и -f- кинематические характеристики, относящиеся к двум состояниям движения соответственно до
§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УДАРА БЕЗ ТРЕНИЯ
485
и после удара, мы положили
ДVj = Vj — Vj , Ataj = «о/ — о>/ 0=1,2).
Заметим теперь же, что из уравнений (29'), так как импульс направлен по общей нормали к поверхностям обоих тел, следует для каждого из них инвариантность по отношению к удару касательной составляющей скорости центра тяжести.
Непосредственно видно, что уравнения (29'), (30') не разрешают еще вполне задачи, так как в выражениях, которые они дают для изменений характеристических векторов Vj, Wj-, есть еще неизвестная величина I .импульса. Для определения этой неизвестной / необходимо ввести какое-нибудь новое количественное условие, которое, конечно, может быть получено только из опыта.
Для этой цели будем рассматривать скорость, которую имеет в любой момент до или после удара точка Pj и которая, как известно, определяется посредством соответствующих характеристических векторов выражением
Vj+ Vj X О?J U = 1,2),
и, обозначив через Vj ее нормальную составляющую по ориентированному направлению единичного вектора ttj, т. е. положив
vJ = vI • nJ + ["i XGpj] ¦ ttj =
= Vj ¦ ttj + [ GjPj Xnj], (31)
введем скалярную величину
W=V1 + V2.
Если мы примем во внимание, что два единичных вектора B1, »2, направленных каждый внутрь соответствующего тела, в момент /0 удара будут прямо противоположны, то увидим, что величина w измеряет непосредственно до и непосредственно после t0 составляющую скорости (относительной) P2 — P1 точки P2 относительно точки P1 по ориентированному направлению B2 (или, что то же, составляющую по B1 скорости точки P1 относительно P2). Таи как характер явления требует, чтобы непосредственно до удара оба тела стремились сблизиться, то следует принять W- < 0. Если теперь, отказываясь от анализа тех сложных явлений деформации и последующего восстановления (частичного или полного), которые сопровождают удар, мы ограничимся совокупной оценкой их эффекта, то окажется естественным обобщение гипотезы Ньютона (п. 4), состоящее в допущении, что удар вызывает обращение стороны относительной нормальной скорости двух точек P1, P2 и, одновременно, уменьшение соответствующей величины. Другими словами, нам придется положить
W~ =S — ew~,
(32)
486
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
где е обозначает коэффициент восстановления, который, как было указано в п. 4, заключен между 0 и 1 и зависит исключительно от физического строения соударяющихся тел. При е = О (неупругие тела) нормальная относительная скорость после удара W+ исчезает и в этом случае оба тела после удара остаются соединенными; наоборот, в случае е = 1 (тела совершенно упругие) нормальная относительная скорость после удара сохраняет то же самое абсолютное значение, что и до удара, но с обратным знаком (отталкивание).
Уравнение (32) как раз и есть то новое эмпирическое уравнение, которое позволяет вполне разрешить задачу. Из него следует
Aw =—(I -\-е) w~. (32')
С другой стороны, достаточно вспомнить, что при ударе единичные векторы tlj не изменяются И ТОЧКИ Pj, Gj не смещаются, чтобы, подставляя в равенство
Aw = Av1 -j- Av2
вместо Av1, Av2 их выражения, даваемые уравнениями (31), и учитывая уравнения (29'), (30'), получить уравнение
A w = k*I, (33)
где k2 обозначает существенно положительную постоянную
2
= 2 {І +aTl 1?? X «;1 • X nj]};
/=I J
эта постоянная, если через ctj, pj, обозначим составляющие в- и через Xj, yj, Z1 — координаты точки Pj относительно соответствующей
системы осей инерции с началом в центре тяжести, может быть вы-
ражена через данные задачи в виде
у2 V1 / 1 і Сyj'ij і (z./ai і (xj Pj У і а./)^
* - 2Ат}-Г Aj ^ Bj -f- Cj Г
Из сравнения уравнений (32'), (33) получим
/= ®“; (34)
достаточно подставить это значение в уравнения (29'), (30'), чтобы получить формулы, разрешающие задачу.
Удар тел друг о друга называется прямым, когда скорости центров тяжести до удара vj имеют направление общей нормали к двум поверхностям в точке Р. В этом случае из упомянутой выше неизменности касательной составляющей скоростей Vj следует, что ско-
S 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УДАРА БЕЗ ТРЕНИЯ
487
рости после удара vf будут направлены параллельно той же прямой, что и до удара.
Удар называется центральным, если общая нормаль к поверхностям обоих тел в точке P проходит через центры тяжести; этот случай только и возможен, если оба соударяющиеся тела представляют собой однородные шары.
Тогда будем иметь Gj P? X п; = 0, так что из уравнения (30) будет следовать, что Aojj- = 0; это значит, что при центральном ударе угловые скорости Mj- обоих гел остаются неизменными, откуда следует, что скорость любой точки Q каждого из двух тел, определяющаяся, как известно, выражением
vj + Gj Q X <»j (/ = I j 2),
испытывает при ударе такое же приращение, как и скорость соответствующего центра тяжести. Поэтому, в частности, при центральном ударе касательная составляющая скорости каждой отдельной точки (т. е. составляющая, параллельная касательной плоскости, общей к поверхностям обоих тел) остается неизменной.