Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
N
8 Г =» 2 «л-8*,. (12)
г = 1
7. Вариационная формула Гамильтона. Вернемся снова к материальной системе, подчиненной связям, указанным в п. 3, и возьмем опять общее уравнение динамики
а
2 (Fi-MiUi)-OPi = O, (13)
і=і
которое напишем в виде
N
L' — 2 ЩЧі • ZPi = 0; (130
і=і
N
здесь для виртуальной работы 2Fi^Pi активных сил взято обозна-
І = 1
чение Lf вместо прежнего обозначения 8L, чтобы сохранить символ 8
398
fjt. Xi. оёщйе Принципы
для вариаций, испытываемых отдельными механическими величинами при переходе от естественного движения к какому-нибудь синхронно-варьированному движению. Важно теперь же отметить, что только в том случае, когда действующие силы имеют потенциал U, виртуальная элементарная работа L' может быть представлена в виде приращения некоторой механической величины при переходе от сравниваемого движения к синхронно-варьированному движению: L' = bU.
Если при помощи начальных условий выбирается какое-нибудь движение Ni системы, то оно, как мы знаем, в любой момент должно удовлетворять уравнению (130 ПРИ всех виртуальных перемещениях SPi. В частности, уравнение (13') остается в силе в любой момент для SPi, соответствующих какому-нибудь синхронно-варьированному движению Ms, во время которого эти 8Pi, а вместе с ними элементарная работа L', будут определенными функциями времени. Если теперь проинтегрировать уравнение (13') между двумя любыми моментами t0 и I1, то получится уравнение
Интегрируя по частям и принимая во внимание соотношение UiCit = Clvi и уравнения (11), получим
на основании соотношения (12) уравнение (14) можно написать в виде
Заметим теперь, что, по самому определению виртуальных перемещений, они переводят систему из одной заданной конфигурации, совместимой со связями, в другую, тоже допускаемую связями в тот же самый момент; поэтому нулевое перемещение SP1 = O следует рассматривать как виртуальное, каков бы ни был момент, к которому оно относится. Можно представлять себе по отношению к естественному движению M синхронно-варьированное движение Ms таким, что SPi исчезают в крайние моменты времени tQ и I1, но остаются совершенно произвольными в любой другой момент рассматриваемого промежутка времени, лишь бы они были правильными функциями t. Иначе говоря, из бесконечно большого числа синхронно-варьирован-ных движений рассматриваются только те (составляющие также беско-
(14)
J щ • 8PiM= [Vi • SPi^-J* Vi • S^idt-,
N
J (8Г+V) dt = ^mi Itfi-SPi]^.
(140
§ 3. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
399
нечно большое число), которые имеют общие конфигурации с естественным движением M в начале и конце промежутка времени.
Для всякого естественного движения, если синхронно-варьирован-ные движения принадлежат к только что указанному частному классу, уравнение (14) сводится к более простому виду
это и есть та вариационная формула, которая выражает так называемый принцип Гамильтона.
До сих пор мы видели только, что уравнение (15) является необходимым следствием общего уравнения (13) динамики. Для оправдания названия принципа, приписываемого уравнению (15), мы должны согласно п. 1 доказать и обратное предложение.
Предположим, что для естественного движения M вариационная формула (15) справедлива по отношению к синхронно-варьированным движениям, имеющим те же конфигурации в моменты и flt что и естественное движение M; нужно доказать, что в этом случае для естественного движения справедливо общее уравнение динамики, т. е. что уравнение (15) определяет движение системы.
Мы дадим это доказательство в п. 9, после того как в следующем пункте изложим некоторые вспомогательные соображения.
8. Аналитические предпосылки. Задав для действительного переменного t промежуток времени (t', f) и взяв внутри него любое значение t, всегда можно построить многочлен/(2), который при t — t принимает заданное значение 0 и обращается в нуль любого ^наперед заданного порядка п для каждого из значений Ґ и I" на концах промежутка. Таким, очевидно, будет многочлен
Выбрав промежуток [/0, fj, заключающий внутри себя [/', t"\, так что to^.?, tt^f, рассмотрим функцию, которая в этом новом промежутке будет равна нулю вместе со своими первыми п производными при t^,f и t^i", а в промежутке [tf, Ґ] совпадает с /; таким образом получим в промежутке [Y0, Z1] функцию, непрерывную вместе CO своими первыми п—1 производными.
Это простое замечание пригодится нам для построения частного типа синхронно-варьированных движений по отношению к любому движению M системы в заданном промежутке времени.
(15)
t,
(t — t')» (/" —1)п
400
ГЛ. XI. ОБЩЙЕ ПРИНЦЙЙЫ
Проекции 8?, STji, SCi виртуальных перемещений SPj- в любой момент определяются некоторой системой линейных однородных уравнений
N
Bk — S (аы 8&i -{- cijci 8f]< аы 8С<) = 0 (г = 1,2,..., Л?);
й=1
поэтому для любого момента t и для любой соответственно возможной конфигурации наиболее общие выражения вариаций 8?, 8?, SCi можно представить в виде линейных комбинаций с неопределенными множителями X. Чтобы ввести синхронно-варьированное движение для заданного движения М, достаточно указать выражения множителей X в функции времени t.
