Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому, вспоминая формулу (9), мы придем к новому выражению для у.
Y = C2S4 s'2. (8')
После этого вернемся к функции у, которая при заданном состоянии движения имеет минимум в естественном движении по сравнению со всеми другими, кинематически возможными движениями, и заметим, что так как речь идет о связях, не зависящих от времени, то соответствующие уравнения (2') будут обязательно однородными (Ьк = 0) И, кроме ТОГО, коэффициенты при Ii, Tji, Cf не будут зависеть от t. Поэтому если эти уравнения умножить на dtjds, то они приведутся относительно d^i/ds, d^/ds, d'^jds, т. е., на основании соотношений (10), относительно dxjds к линейным однородным уравнениям с коэффициентами, зависящими только от координат х„ т. е. от положения системы.
Воспользовавшись теперь представлением движения в евклидовом пространстве E конфигураций, мы увидим, что связи имеют исключительно геометрический характер, т. е. накладывают ограничения только на траектории, но не на закон движения вдоль траектории; этот последний для каждой из возможных траекторий можно выбрать произвольно, не нарушая связей. Так как ^ имеет минимум в естественном движении в сравнении со всеми возможными движениями,
•
совместными CO связями, то выражение (8') для у (в котором S имеет значение, определяемое рассматриваемым состоянием движения) позволяет сделать следующие заключения:
1°. s = 0, т. е. естественное движение является равномерным, Как это можно вывести и из интеграла живых сил (гл. V, п, 30),
396
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
который при отсутствии активных сил сводится к следующему;
Г = і S2 = const;
2°. с2 имеет наименьшую допускаемую связями величину.
Следовательно, мы можем сформулировать упомянутый выше принцип прямейшего пути так: для материальной системы с двухсторонними идеальными и не зависящими от времени связями, на которую не действуют активные силы, естественное движение, начиная от какого-нибудь состояния движения, происходит с постоянной скоростью и так, что во всякий момент кривизна траектории в представляющем пространстве E имеет минимум по сравнению со всеми другими траекториями, совместными со связями. Эта формулировка представляет собою замечательное распространение принципа инерции (т. I, гл. VII, п. 30) с элементарного случая свободной точки на движение материальных систем с какими угодно связями (при отсутствии активных сил и трения).
Важно добавить, что предположение об отсутствии активных сил с точки зрения Герца не составляет ограничения, так как Герц исходит из основного взгляда, что из механики должно быть изгнано понятие о силе, как понятие примитивное, и все должно быть сведено к действию связей. Следовательно, по Герцу, силы должны входить только в виде реакций связей.
§ 3. Принцип Гамильтона
6. Синхронно-варьированные движения. Во многих случаях оказывается полезным сравнивать с заданным движением M материальной системы так называемые синхронно-варьированные движения!), обозначая этим названием те воображаемые движения (бесконечно близкие к сравниваемому движению), в которых во всякий момент t полржения отдельных точек системы задаются величинами Pi-^bPi, где Pi соответствует движению М, а ЬРІ означает какое-нибудь одно из виртуальных перемещений, относящихся к рассматриваемому моменту (и к конфигурации Pi).
Это перемещение Wi в любой момент можно выбрать произвольно, но связи системы при этом, конечно, не должны быть нарушены; после того как этот выбор сделан, 8Pi будут функциями времени, и потому можно считать определенными также и векторы dbPJdt, если 8Pi — правильные функции.
Итак, предположим, что для материальной системы определены какое-либо движение Ni и его синхронно-варьированное движение Mg, и пусть q есть какая-нибудь величина, скалярная или векторная, свя-
1J Мы употребляем терминологию, введенную Маджи в его Principii cji Stereodinamica, Mjlano, Hoepli, 1903, г. II,
§ 3. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
39?
занная с движением системы, например скорость Vi любой точки Pi или полная живая сила Г и т. д. Обозначим через 8q вариацию или разность (бесконечно малую), которая в любой момент имеется между значениями q в варьированном движении M8 и в действительном движении М.
Для ближайших выводов важно сейчас же заметить, что для скоростей Vi имеем
Ь^ = ЬЧГ = Itbp* (^ = 1, 2, TV). (11)
В справедливости этих соотношений мы можем убедиться или чисто аналитическим путем, полагая, что в силу самого определения виртуального перемещения операция 8 и дифференцирование по времени суть операции, независимые между собой, и потому обладают свойством переместительности, или менее формальным и более прямым путем, замечая, что в любой момент t положения одной и той же материальной точки системы в движениях Ni и M8 суть Pj и P(-j-SPi, так что для варьированной скорости, дифференцируя Pi -)- SPi по времени t, получим выражение
+ Ч = ^ + Jtbp* (/=1’ 2- Щ
вычитая отсюда Vi, мы и получим соотношения (11).
Отметим также, что для живой силы
N
Т -Vi
f=l
непосредственно находим