Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если теперь, выбрав внутри промежутка времени [Z0, ^1] произвольный момент t, включим это 7 в какой-нибудь частичный промежуток [t', t"\ и из всех виртуальных перемещений, относящихся к моменту t, выберем одно, соответствующее значениям X произвольных множителей, то мы всегда сможем, как было сказано выше, предположить, что эти множители определены как непрерывные функции времени и притом так, что при t — t они принимают как раз значения Л, и потому дают заданное виртуальное перемещение и, наоборот, будут постоянно равны нулю при t ^.t', t^>t" (вместе со своими производными до какого-нибудь наперед установленного порядка).
Синхронно-варьированным движением, которое таким образом определено, мы воспользуемся в следующем пункте.
9. Вывод ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ из вариационной формулы Гамильтона. Как было сказано в п. 7, мы должны доказать, что если для определенного движения M системы, по отношению ко всем синхронно-варьированным движениям, имеющим одни и те же конфигурации на концах промежутка, справедливо (15), то в силу этого, как необходимое следствие, будет справедливо и общее уравнение динамики (13).
Для этой цели заметим сначала, что так как виртуальные перемещения 8Pi предполагаются равными нулю в моменты времени /0 и ^1, то уравнению (15) можно придать вид (14'), после чего, выполнив снова в обратном порядке формальные переходы п. 7, мы возвратимся к уравнению (14), которое можно написать в виде
j Adt=O, (14")
fo
где для краткости мы обозначили через А левую часть общего уравнения динамики (13') или (13). Таким образом, нам надо доказать, что если имеет место уравнение (14") при каком-нибудь выборе синхронно-варьированного движения с теми же самыми конфигура-
§ 3. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
401
циями на концах, что и в естественном движении, то А в любой момент исчезает при каком угодно виртуальном перемещении (относящемся к рассматриваемому моменту и к конфигурации, принимаемой системой в движении М).
Это есть простое следствие из того обстоятельства, что все аргументы, от которых зависит Л (силы, ускорения, виртуальные перемещения), суть непрерывные функции времени. Действительно, выбрав один какой-нибудь момент t в промежутке (/0, f,) (открытый промежуток) и задав какое-нибудь виртуальное перемещение SPi (между теми, которые относятся к моменту t и к одновременной "конфигурации системы в движении /И), обозначим через А соответствующее значение Л, которое, как мы сейчас покажем, равно нулю. Из предыдущего пункта следует, что если заключить момент 1 в некоторый промежуток [f, f], внутренний для промежутка (t0, tj), то можно бесконечным множеством способов определить в функции от времени бесконечное множество виртуальных перемещений С»2 (для последующих конфигураций системы в прямом движении М) и, следовательно, можно определить синхронно-варьированное движение так, чтобы для t=t0 и t=tt конфигурация системы совпадала с конфигурацией в движении Ж; виртуальное перемещение при t = t будет тождественно с заданным и будет исчезать при t^t' и t^f. Соответственно этому А при t=t принимает значение А, а при t^.t' и t t" будет равно нулю, так что уравнение (14") приведется к виду
J Adt = O. t'
Так как вследствие непрерывности Л к левой части применима формула о среднем значении, то можно также написать
(?’ — f) А* = О,
где А* обозначает величину А, относящуюся к некоторому моменту t*, заключенному между t' и t". Поэтому имеем А* = 0, а так как это имеет место, сколь бы малым ни был промежуток [tf, то заключаем, переходя к пределу, что вследствие непрерывности А не может не быть А == 0.
Таким образом установлена полная эквивалентность между общим уравнением динамики (13) и вариационной формулой Гамильтонакоторой теперь уже на законном основании можно приписывать название принципа.
Как уже указывалось в общем случае п. 1, формальное различие между двумя уравнениями (13) и (15) дает возможность использовать для составления уравнений движения то или другое из них, смотря по тому, какое является более удобным.
26 Зак. 236S. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
402
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Следует добавить, что формула (15), хотя и включает, в отличие от уравнения (13), интегрирование по времени, однако имеет преимущество благодаря большей краткости, так как помимо виртуальной работы L', которая входит также и в уравнение (13) или (13'), содержит только скорости, входящие неявно через посредство вариации 8T живой силы, тогда как в уравнение (13) входят явно ускорения отдельных точек.
10. Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L' не отличается от вариации (полного дифференциала) 8{/, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования (8 и djdt), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь
