Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
(б')
1=1
Если теперь примем во внимание тождество
(Fi-^afy =
= —(Fi- IniO-Ty) ¦ Aai + Y Ini (Aai)2 и уравнение (6'), то придем к равенству
П
Т —Tn = S^i(Aai)2, i = i
из которого как раз и следует, что у больше во всех тех случаях, когда не исчезают все Aai, т. е. когда у не соответствует естественному движению.
Заметив это, мы придем к искомому истолкованию уравнения (6), если докажем, что при достаточно малом х вместе с у будет иметь наименьшее значение и принуждение Г. Прежде всего, если наименьшее значение •( равно нулю, то имеем соответственно TniUi — Fi, т. е. естественное движение, соответствующее наименьшему значению совпадает со свободным движением; но тогда и принуждение Г обращается в нуль, и так как принуждение, по определению, не может быть отрицательным, то оно действительно имеет в этом случае наименьшее значение.
Исключив этот случай и обозначив через -(п, Г„ значения, которые Имеют if .и Г в естественном движении, мы увидим, что минимум *fn величины 7 непременно будет положительным. Если бы минимум Г не был равен Г,„ то он был бы равен некоторому значении)
§ 2. ПРИНЦИП ПРЯМЕЙШЕГО ПУТИ ГЕРЦА
аэз
I11CTn и это последнее значение принуждения T1 соответствовало бы некоторому движению, совместному CO связями, но отличному от естественного; в этом движении величина 7 имела бы значение Ti > Tn- Это приводит, однако, к противоречию, так как, вычитая почленно два уравнения
г„ = т(тп+(1)). г.-^СгЖО),
мы придем к соотношению
г n —111 = - (т„ — Tl + (I)).
в котором при допущенных выше условиях левая часть должна была бы быть положительной, а правая, по крайней мере для г достаточно малого, имела бы знак разности — ^1, т. е. была бы отрицательной.
Поэтому Г действительно имеет минимум одновременно С что и доказывает справедливость принципа наименьшего принуждения или наименьшего давления, который мы можем сформулировать следующим образом: для материальной системы с двусторонними связями без трения, находящейся под действием каких угодно сил, естественное движение отличается от всех остальных, совместных со связями, тем, что для него принуждение со стороны связей, так же как и давление на связь, имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.
§ 2. Принцип ^прямейшего пути Герца
4. Геометрические предпосылки. Пусть кривая задана в трехмерном пространстве, отнесенном к прямоугольным декартовым координатам, которые для однообразия будем обозначать через X1, х2, х3, посредством ее параметрических уравнений х,, = х, (s), где s, как обычно, обозначает длину дуги. Как известно (т. I, гл. I, § 11), кривизна с этой кривой определяется соотношением
з
V = I
к этому определению мы приходим, обращаясь к сферическому изображению или к индикатрисе касательных и вычисляя предел отношения угла смежности между касательными в двух смежных точках к длине дуги, заключенной между ними.
Все это распространяется и на пространство с каким угодно числом измерений п, при существенном условии, что речь идет об евклидовом пространстве, так как справедливость указанного вывода зависит от того обстоятельства, что квадрат расстояния между двумя
394
ГЛ. ХГ. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
бесконечно близкими точками х., и x,,-\-dx4 (линейный элемент пространства) определяется евклидовой квадратичной формой
і**
M = I
Таким образом, для квадрата кривизны какой-нибудь кривой рассматриваемого пространства мы получим выражение
--S(S)'- т
V = 1
Пусть дана материальная система из N точек Pi; будем представлять ее конфигурацию в евклидовом пространстве Е, имеющем п = 3N измерений, полагая
Хы-ъ=-Ут&, = XbI = VmiCi
(/=1, 2, ... ,N). (Ю)
Последовательность оо1 конфигураций, принимаемых системой в любом ее движении х., = xv (t), будет представлена оо1 точек кривой пространства Е, которая называется траекторией системы;
легко видеть, что квадрат элемента дуги такой траектории пропорционален живой силе системы, если допустить предположение, что пространство является евклидовым. Действительно, равенство
N
ds2 == dt2 2 xv
V = I
приводится в силу формул (10) к виду
N
ds2 = dfi 2 щ (ft -н? + Cl) = 2 йрт.
i = l
5. Принцип прямейшего пути. Предположим, что связи не зависят от времени и что активных сил нет; следовательно, материальная система движется исключительно под действием связей (движение по инерции).
В этом случае можно дать замечательное геометрическое истолкование тому обстоятельству, что принуждение Г (п. 3) имеет минимум для действительного движения; это истолкование указано Герцем.
Чтобы прийти к этому истолкованию, заметим, что выражение у, определенное из формулы (8), которое, как мы видим, имеет минимум вместе с Г, приводится при отсутствии активных сил к виду
N
т=2 тЛ 1
§ 2. ПРИНЦИП ПРЯМЕЙШЕГО ПУТИ ГЕРЦА
395
или в силу формул (10) к виду
т
Тождественно имеем
с другой стороны, из тождества
п
V = I
путем дифференцирования по s получим
п
ЧГ1 d2x., dx,,__- _
2u~W ds ~ ’
