Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ГЁЛЬДЕРА
407
ние, которое испытывает какая-нибудь величина q, скалярная или векторная, относящаяся к движению системы, при переходе от естественного движения M к любому асинхронно-варьированному движению Ma. Чтобы избежать смешения в обозначениях, используем здесь символ 8*, отметив, что, по определению, тождественно имеем 8*РІ = 8РІ; поэтому и в более общем случае 8*^ не отличается от 8q всякий раз, когда q будет исключительно позиционной величиной.
Заметим, кроме того, что между dt, дифференциалом времени в естественном движении М, и St, бесконечно малым приращением, характеризующим связь между соответствующими моментами времени в асинхронно-варьированном движении и в движении М, существует соотношение переместительности
bdt = dbt.
Действительно, соответствующие друг другу моменты времени в движениях M и Ma равны t и ta = t-\-bt, а их дифференциалы равны dt и dta = dt-j-dbt; так как, по самому определению, вариация Sdt равна разности dta — dt, то она как раз совпадает с dbt.
Ho в отличие от того, что имеет место для 8, оператор S*, вообще говоря, не обладает свойством переместительности с дифференцированием по времени, как это можно утверждать, оценивая приращение 8* Vi скорости Vi любой точки Pi системы. Так как в движении Ma положение Pi-I-SP1 принимается точкой Pi в момент ^ S/,
то из самого определения скорости следует
Vt d (t-\- bt) ’
разделив числитель и знаменатель на дифференциал dt независимой переменной, найдем
»(+8*»< =------------j—;
' + Vit
отсюда, если примем во внимание, что d(bPj)jdt есть не что иное, как Stfj в синхронно-варьированном движении, связанном с движением Ma, и что с точностью до бесконечно малых порядка выше первого имеем
1 і-4т*>
заключаем, пренеорегая еще одним членом второго порядка, что
A-It
SHr1 = Stfi- Vi -%т bt. (20)
408
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Пользуясь этим тождеством, можно найти для вариации живой силы mivi • выражение
Ъ*Т=ЪТ—2Т-^Ы, (21)
которое наравне с выражением (20) для дает 8* T в виде суммы двух слагаемых, первое из которых есть приращение, которое имела бы живая сила T в синхронно-варьированном движении на той же самой траектории Ма% а второе появляется благодаря асинхронности.
13. Принцип стационарного действия. Возьмем снова формулу (15), выражающую принцип Гамильтона, и подставим в нее вместо вариации 8Г выражение, которое получается для нее из формулы (21). Таким образом, мы получим уравнение
]*(8*Г4-2Г-^-8г4-Г)л=0, (22)
%
определяющее характеристическое свойство любого естественного движения по отношению к совокупности всех асинхронно-варьиро-ванных движений. Это уравнение приобретает особо наглядную форму, если категория асинхронно-варьированных движений, которую надлежит рассматривать, ограничивается подходящим выбором бесконечно малой функции 8/ от t.
Условимся рассматривать здесь только те асинхронно-варьирован-ные движения, для которых выполняется условие
Ь*Т = L'. (23)
Эти асинхронно-варьированные движения называются изоэнерге-тическими, так как в случае консервативных сил с потенциалом U уравнение (23) принимает вид
Ь* (Г— ?/)==0
и выражает то обстоятельство, что при переходе от естественного движения к асинхронно-варьированному полная энергия остается неизменной.
С другой стороны, важно отметить, что уравнение (23) не накладывает никаких ограничений на выбор траектории асинхронно-варьированного движения или, если угодно, соответствующего синхронно-варьированного движения. Действительно, как бы ни были заданы SPi в функциях от времени, уравнение (23), присоединенное к уравнению (21), определяет в функции от t величину d(bt)!dt и, следовательно, определяет посредством одной квадратуры само Ы.
Поэтому уравнение (22), если его применять только к асинхронно-варьированным изоэнергетическим движениям, сохраняет, без ограни-
§ 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ГЁЛЬДЕРА
409
чения общности, свою эквивалентность принципу Гамильтона, выраженному, как мы знаем, уравнением (15), поскольку оно имеет место для всех синхронно-варьированных движений.
Теперь, сохраняя предположение (23), приводим уравнение (22) « виду
[ 2 (ь*Т -J- T-^-btjdt = 0,
*0
а так как количество под знаком интеграла есть не что иное, как 8* (2Tdt) и оператор 8*, как обладающий свойством распределительности относительно суммы, необходимо обладает свойством переместительности с операцией интегрирования, то можно написать
8*А = 0, (24)
где положено1)
tl
А = 2 J TdL (25)
Величина А, определяемая формулой (25) для всякого возможного движения рассматриваемой материальной системы, носит название
действия; уравнение (24) выражает то обстоятельство, что для
любого естественного движения действие имеет стационарный характер по сравнению со всеми асинхронно-варьированными изо-энергетическими движениями.
Обратно, если для некоторого движения M справедливо вариационное условие (24) по отношению ко всем асинхронно-варьированным изоэнергетическим движениям, то достаточно провести в обратном
