Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
ti
j (Sr-f-= S / (T+U)dt=Z [ &dt,
K $0
где опять появляется кинетический потенциал или функция Лагранжа 2 (гл. V, п. 40). Обозначив через S (главная функция Гамильтона, см. п. 27) интеграл
J (Г+60 dt= J2dt, (16)
К
мы можем придать принципу Гамильтона в этом случае следующий вид:
SS = O. (15')
Для истолкования этого результата заметим, что интеграл S принимает вполне определенное значение при всяком кинематически возможном движении (естественном или фиктивном), определенном для заданной системы от момента t0 до момента tv Заметим, что S есть функция, зависящая уже не от переменных, а только от некоторого числа функций и как раз от тех, которые входят в уравнения движения.
Далее, уравнение (15') выражает то обстоятельство, что вариация 8 S, испытываемая этим интегралом при переходе от любого естественного движения к какому угодно синхронно-варьированному движению с теми же начальной и конечной конфигурациями, как и в естественном движении, равна нулю. Подобно тому, как в случае какой-нибудь функции / от нескольких переменных х мы заключаем, что обращение в нуль полного дифференциала от / определяет те системы значе-
§ 3. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
403
ний х, для которых функция / принимает стационарное значение» уравнение (15'), пользуясь основными понятиями вариационного исчисления, можно истолковать следующим образом: для материальной системы с двусторонними связями без трения, находящейся под действием консервативных сил, любое естественное движение можно рассматривать как движение, для которого интеграл S имеет стационарное значение по отношению ко всем синхронно-варьированным движениям между теми же самыми начальной и конечной конфигурациями.
Это и есть формулировка принципа Гамильтона для консервативных систем.
Как в случае функций от многих переменных природа второго дифференциала (Pf позволяет определить, при каких дальнейших условиях имеет место максимум или минимум, так и в вариационном исчислении можно рассмотреть аналогичный вопрос, обращаясь ко второй вариации J).
Далее, в случае принципа Гамильтона можно доказать, что при достаточно малых промежутках времени интеграл S для естественного движения не только принимает стационарное значение, но и имеет минимум2).
Мы не будем здесь доказывать этого. Отметим только следующее обстоятельство: когда при переходе к синхронно-варьированным движениям начальный и конечный моменты tQ и Z1 не изменяются, то интеграл S в течение рассматриваемого движения отличается только на постоянный множитель (^1 — /0) от среднего значения [й] функции Лагранжа; написав
[2] = [71 — I-U],
мы увидим, что принцип Гамильтона в случае консервативных сил можно высказать также в другой форме: для естественного движения разность между средними значениями кинетической и потенциальной энергии принимает стационарное (именно, минимальное) значение по сравнению с синхронно-варьированными движениями с теми же начальной и конечной конфигурациями.
С физической точки зрения, это свойство стационарности (и минимума) содержится как частный случай в том принципе распределения энергии, который имеет место в статистической механике и, в частности, в кинетической теории газов3), в том смысле, что естественное движение, если сравнивать это движение с другими кинематически возможными и имеющими те же конфигурации для t = t0
!) Cm., например, Лаврентьев и Люстерник, Курс вариационного исчисления, 1950.
2) Ср., например, G. Darboux, Theorie des surfaces, т. II, Paris, стр. 246.
3) Cm. J. Н. J е а п s, The dynamical Theory of gases, 2-е изд., Cambridge, 1921, стр. 359.
26*
404
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
и t=ty, определяется как движение, при котором среднее значение разности между двумя видами энергии, кинетической и потенциальной, имеет наименьшее значение. В явлениях, в которые входит большое число элементов, так что оказываются полезными только средние значения, наблюдается аналогичная тенденция, в некотором смысле даже более подчеркнутая, в отношении распределения энергии между всеми различными степенями свободы, которыми обладает система.
Отметим, наконец, как из того же определения (16) следует, что вычисление S предполагает знание движения, о котором идет речь, и в общем случае требует одной квадратуры. He лишено интереса замечание, что, если известен полный интеграл V{д 111 л) уравнения Гамильтона—Якоби, что, как мы знаем, позволяет определить общее решение уравнений движения (предыдущая глава, п. 35), квадратура выполняется. Мы отложим доказательство этого положения до п. 26, где речь будет идти о лагранжевых системах общего вида.
11. Применение принципа Гамильтона к выводу уравнений движения. Возьмем снова принцип Гамильтона в его общей форме (15) и применим его к такой материальной системе, для которой элементарная работа L' активных сил и вариация кинетической энергии ЬТ при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь синхронно-варьированному движению между одними и теми же конфигурациями в начале и конце промежутка времени выразятся в виде
