Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
*) Чтобы отдать себе Готчет формальным путем в переместительном свойстве оператора 6* относительно операции интегрирования, заметим, что можно бесконечным множеством способов ввести в выражение А, в виде переменной интеграции, вместо t вспомогательный параметр X, который, в то время как t изменяется от t0 до ti, будет изменяться, все время возрастая, от 0 до I. В силу этого выражение А принимает вид
і
А = 2 J Г-?л,
О
а так как пределы теперь постоянны, то варьирование 6* применяется исключительно под знаком интеграла, так что получается
,*А=2/(5*ГЖ-+Г4г)^
о
теперь достаточно снова взять t за переменную интегрирования, чтобы получить желаемый результат.
410
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
порядке выполненные ранее рассуждения, чтобы убедиться, что для M имеет место уравнение (22), т. е. справедлив принцип Гамильтона, так что мы имеем здесь естественное движение рассматриваемой системы.
Эта двойная формулировка, определяющая естественное движение по сравнению с асинхронно-варьированными изоэнергетическими движениями, и составляет так называемый принцип стационарного
действия', в только что указанной общей форме, обнимающей также
и случай неконсервативных сил, формулировка этого принципа принадлежит Гёльдеру1).
Что же касается механического истолкования действия А, то заметим, что если написать его в виде
A = 2?- t0)[T],
то оно будет равно удвоенному произведению продолжительности движения на среднюю величину живой силы', если, наоборот, примем во внимание известное выражение живой силы посредством скоростей, то найдем
я те
A= [VidPi = ^mi ГVidsi, t=i / і=і у
»0 to
где ds{ означает элемент дуги траектории любой точки Pi.
Необходимо отметить, что впервые Мопертюи2) ввел понятие действия для случая одной только материальной точки с массой т, относящееся к любой дуге траектории s в виде mvs. Показав неудобство этой оценки действия, Эйлер подставил вместо нее, тоже для случая одной только точки, вышеуказанный интеграл, который потом был обобщен на системы какого угодно числа точек Лагранжем.
Заметим, наконец, что вычисление действия А, как это следует из его определения (25), предполагает знание движения, к которому оно относится, и, вообще говоря, требует одной квадратуры. Ho аналогично тому, что имеет место для функции S Гамильтона (п. 10), можно избежать выполнения этой квадратуры, если известен полный интеграл W (q |іг) соответствующего уравнения Гамильтона H = E (п. 38 предыдущей главы).
Доказательство этого последнего утверждения мы отложим также до п. 26, когда мы обратимся вообще к какой угодно лагранжевой системе с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени.
1J Ueber die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis, Gott. Nachr.; 1896, стр. 122.
?) Пьер Луи Мопертюи родился в С.-Мало в 1698 г., умер в Базеле в 1759 г. Член Парижской академяи наук, он был приглашен Фридрихом II к руководству Берлинской академией. Занимался астрономией и механикой. Его сочинения изданы в четырех томах.
§ 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ГЁЛЬДЕРА
411
14. Случай голономной системы со связями, не зависящими от времени и с консервативными силами. В предположении консервативных сил принцип стационарного действия допускает следующую специальную формулировку, аналогичную той, которая была указана без доказательства в п. 10 для принципа Гамильтона; для голономной системы со связями, не зависящими от времени, соответствующее действие для какого-нибудь естественного движения между двумя достаточно близкими конфигурациями будет не только стационарным, но и минимальным по сравнению с тем, которое имелось бы для всякого асинхронно-варьированного изоэнергетического движения. Здесь мы также, чтобы не слишком задерживаться, откажемся от доказательства этого утверждения1).
15. Геометрическая интерпретация принципа стационарного действия. Обратимся еще раз к голономной системе со связями, не зависящими от времени, для которой величины qu q2,...,qn составляют систему независимых лагранжевых координат, и, как это уже не раз делалось нами ранее, представим соп конфигураций точками абстрактного пространства п измерений, в котором величины q истолковываются как самые общие координаты. В атом пространстве можно условно определить линейный элемент или элементарное расстояние ds между двумя любыми бесконечно близкими точками qh и qJl-jTdqh, полагая
ds2= 2 ahkdqhdqk, (26)
ft=i fc=i
где ahtc суть такие функции от q, конечные и непрерывные вместе со своими первыми и вторыми производными, что квадратичная форма в правой части будет определенной положительной.
Как известно из элементов дифференциальной геометрии, от выбора этого линейного элемента зависят определение длины какой угодно линии (конечной) и остальные основные соотношения (относящиеся к углам, площадям и т. д.), которые позволяют установить всю метрику рассматриваемого пространства. Абстрактное пространство, для которого установлен линейный элемент (26) или, как обычно принято говорить, в котором установлено мероопределение, называется метрическим многообразием и будет нами обозначаться через Vn.
