Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
= + (17)
h = l ft=l
где [і. суть бесконечно малые произвольные функции времени, подчиненные только одному условию: они должны обращаться в нуль в моменты и tv Непосредственно ясно, как эти предположения подсказываются случаем голономной системы, отнесенной к лагран-жевым независимым координатам qb q2, ..., qn, так как для такой системы имеем (гл. V, п. 36)
Lf = 2 ЯъЦь, 08)
ft=i
а вариацию 8 Г живой силы, выраженную в функции от q и q, на основании свойства переместительности операторов 8 и djdt можно написать в виде
Ti=I
Вариации bqh обращаются в нуль при t=t0 и t=tt, так как они соответствуют синхронно-варьированному движению, для которого начальная и конечная конфигурации совпадают с соответствующими конфигурациями естественного движения.
§ 3. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
405
Предполагая, что выполняются равенства (17), из принципа Гамильтона можно получить уравнение
Так как обращаются в нуль при t=t0 и t = tv то, интегрируя по частям, найдем
Рассуждение, совершенно аналогичное рассуждению п. 9, приводит к заключению, что функция под знаком интеграла должна обращаться в нуль, а так как \>.н произвольны, то каждый множитель при [I7i должен обращаться в нуль, т. е.
Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы.
Для упомянутого выше случая голономной системы, сравнивая уравнения (18) и (19) с уравнениями (17), найдем
т. е. уравнения (а) приводятся к уравнениям Лагранжа.
Естественно, что принцип Гамильтона можно применить к выводу дифференциальных уравнений движения также и в более общих случаях; такими будут, например, уравнения движения систем с него-лономными связями, изученные нами в § 8 гл. V, или, чтобы указать более конкретный случай, уравнения Эйлера для твердого тела, закрепленного в одной точке и отнесенного, помимо чисто позицион-йых координат 0, <р, ty, к проекциям р, q, г угловой скорости, т. е.
tL п
/2 {04ft + Bh) V-h + Qilj-TiЇ dt — 0.
*0 ft = l
после чего можно написать
tL tl
#„ ft=i
dSA-Bh = Ah (A = I, 2, ..., я) (а)
п)
и потому
к трем линейным неинтегрируемым комбинациям производных Ь, ср,
406
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Мы не будем останавливаться на этом и ограничимся ссылкой на классический трактат Кирхгоффа *), содержащий все, что касается только что указанных уравнений Эйлера и их обобщений.
§ 4. Вариационная формула Гёльдера. Принцип стационарного действия
12. Асинхронно-варьированные движения. Между естественным движением M и каким-нибудь синхронно-варьированным движением Ms, по определению, существует одно-однозначное соответствие положения s и времени, в силу чего всякой конфигурации Pi, принимаемой системой в естественном движении М, соответствует одна вполне определенная конфигурация P1-I-SPi в варьированном движении Afg; при этом предполагается, что обе конфигурации Pi и Pi -f- SPi достигаются системой в соответствующих движениях одновременно.
В более общем случае можно представить себе, что варьируется также и время, в том смысле, что от синхронно-варьированного движения Ms переходят к другому движению Ma, в котором конфигурация Pi -[- SPi, соответствующая Pi в естественном движении М, будет приниматься системой не в тот же момент і, но в варьированный момент t-\- it, где через 8/ обозначено бесконечно малое приращение времени, которое изменяется от момента к моменту и, следовательно, является произвольной (но правильной) функцией t. Такое движение Ma по отношению к естественному движению M называется асинхронно-варьированным движением.
По самому определению, всякому асинхронно-варьированному движению Ma однозначно соответствует синхронно-варьированное движение Ms, имеющее ту же траекторию и отличающееся от него только законом изменения во времени.
Как и в п. 6 для синхронно-варьированных движений, важно теперь обозначить специальным символом бесконечно малое прираще-
J) Kirchhoff, Vorlesungen uber math. Physik; Mechanik; Leipzig, 1903, лекции VI и XIX. Cm. также Т. Levi-Civita, Forma mista di equazioni del moto che conviene ad una particolare categoria di sistemi meccanici, Rend. Acc. Lencei (5), т. XXIV2, 1925, стр. 235 — 248, где, между прочим, рассуждения Кирхгоффа представлены в векторной форме.
Густав Роберт Кирхгофф родился в Кенигсберге в 1824 г., умер в Берлине в 1887 г. Преподавал последовательно в университетах Бреславля, Гейдельберга и Берлина и был одним из крупнейших специалистов своего времени по математической физике. Известен тем', что дал теоретические основы спектрального анализа и вместе с Бунзеном разделяет заслугу первого его практического применения. Классическими являются также и его законы о распределении электрических токов в сетях, исследования, относящиеся к принципу Гюйгенса, и принадлежащая ему теория упругих стержней и пластинок. Его лекции по математической физике, собранные в четырех томах, первый из которых (только что цитированный) был отредактирован лично им самим и представляет собою полный трактат по механике, еще и сегодня могут служить примером осторожности и точности изложения.
