Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
которое в силу соотношения (32) будет меньше нуля.
Если, далее, введем для удобства существенно положительную постоянную
A =/+5(/-7-)' <37)
большую, чем /, то из уравнения (36) увидим, что а не только
всегда будет отрицательной, но и будет удовлетворять условию
—0>/l?.
Поэтому скорость скольжения будет постоянно убывать, и так как замедление не меньше fxg, то, следовательно, эта скорость сведется к нулю за конечное время Z1, не превосходящее у—.
Таким образом, заключаем, что действительно существует момент tv начиная с которого, согласно сказанному в а), начинается фаза затухания движения для чистого качения.
г) На этом теоретически исследование можно считать исчерпанным; однако, с практической точки зрения, необходимо еще обратить
внимание на движение центра тяжести G (или оси в случае спаренных колес). В частности, интересно установить, будет ли такое движение происходить всегда в одну и ту же сторону или возможно и обратное движение. Это обнаружится из рассмотрения скорости V, которая необходимо будет исчезать, если только движение центра тяжести G ыожет изменить направление на обратное.
Начнем с замечания, что в окончательной фазе чистого качения (а= О), в которой, как мы это видели в б), угловая скорость приближается к нулю, сохраняя всегда один и тот же знак, то же самое
40 ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
будет справедливо и для V =— гоэ; поэтому обращение движения центра тяжести может произойти только в течение фазы скольжения, если, разумеется, такая фаза действительно имеется.
Поэтому рассмотрим этот последний случай, полагая, что всегда возможно, O0 > 0 и имея в виду промежуток времени, протекающий от момента /=O до момента tv когда исчезает а. Так как в этом промежутке времени мы должны положить А = —fp, то из первого из уравнений (35) получим
V = -fg. (35І)
Таким образом, мы видим, что V во всяком случае изменяется, постоянно убывая, так что если будем иметь V0 О (т. е. если в начальный момент центр тяжести движется в сторону, противоположную стороне скольжения, или, в частности, выходит из состояния покоя), то не представляется возможности обращения движения; наоборот, при V0 > 0, если обращение движения будет иметь место,, то оно необходимо будет единственнйм. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда вместе с а0 положительным будет также и V0 (скольжение и движение центра тяжести в начальный момент направлены в одну сторону).
Далее, второе из уравнений (35), в котором нужно положить A = —fp, т. е. уравнение
тЪ2ш = Г—frp = —rp(f — ~j, (35б)
вместе с неравенством | Г | ^ hp и обычным условием (32) показывает, что ш будет всегда отрицательным, так что в рассматриваемой фазе ш все время будет убывать, начиная от своего начального значения (о0. Таким образом, нам придется различать два частных случая: <!>0<0 и (о0 >0.
В первом частном случае (начальное вращение происходит от Yj к ? или, возможно, равно нулю) ш остается (или становится) отрицательным; поэтому надо положить Y = hp, и тогда равенство (36), если воспользоваться обозначением (37), можно написать в виде
3 = —fig-
Отсюда для продолжительности фазы скольжения получится значение
и в этом промежутке времени скорость центра тяжести V в силу соотношения (35 а) будет равна
V=V0-fgt.
§ 6. КОЛЕСО НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Теперь легко видеть, что при скорость V не может
исчезать. Действительно, максимальное значение, достигаемое в этом интервале величиной fgt, определится равенством
fgti = Yx с°:
так как, по предположению, со0 ^ 0, то величина O0 = V0 -{- по, будучи положительной, не превзойдет V0, а так как J1, как это следует из (37), будет больше /, то имеем
V0 > Y1 «о-
Отсюда можно заключить, что при <о0 0 (и, кроме того, яри
ао > О, V0 > 0) мы уже не будем иметь обращения движения центра тяжести.
Перейдем к следующему частному случаю <в0 > 0 (начальное вращение от % к Ti). Тотчас же после начального момента t= О и до тех пор, пока угловая скорость остается положительной, трение качения так же, как и трение скольжения, будет динамическим; поэтому в первом промежутке времени вместе с уравнением (35а) будут удовлетворяться два уравнения, которые получатся из второго уравнения, системы (35) и из уравнения (36), если в них положить Г = — hp, A = — fp, т. е.
rw=~f2g, (35е)
« = -С/+Л)йГ, (36')
где для краткости обозначено
Л = 5(/+т)- (38)
Три уравнения (35а), (35б), (36^ будут сохранять свое значение до тех пор, пока не исчезнет по крайней мере одна из трех величин V, а), <з; все эти три величины вначале положительны и все три убывают равномерно С течением времени. Промежутки времени, необходимые ДЛЯї обращения их в нуль, определяются соответственно выражениями
Vp гт(> ао fg' fig’ (/-H/а) g’
где O0= V0 -J- /"CO0; из этих трех отношений мы тотчас же видим, что числитель и знаменатель третьего получаются путем сложения соответственно числителей и знаменателей первых двух, поэтому, так как речь идет об отношении между положительными числами, третье наверное будет заключено между остальными двумя, если они все три не равны между собой. Из трех скоростей V, <u, о первыми могут
