Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
в течение конечного промежутка времени, и исследуем особенности
этой фазы самопроизвольного прекращения движения.
Уравнения, определяющие эту фазу движения, мы получим из уравнений (25), полагая в них т = = 0, т. е.
mV = А, /яо2ш = Г -j- г А. (35)
Речь идет, следовательно, об изучении любого решения этих уравнений, определяемого начальными значениями V0, а>0, произвольно задаваемыми для V и «в.
Здесь, естественно, придется рассматривать скорость скольжения о, которая, как мы знаем, выражается через V и со посредством равенства (26); ускорение скольжения будет поэтому определяться уравнением
m«=(i+5)^+-Pr- (зб)
Чтобы сделать рассуждение более ясным, разобьем его на несколько частей, причем сначала в а) и б) сделаем некоторые предварительные замечания, вслед за которыми в в) и г) изложим надлежащие заключительные выводы.
а) Если в некоторый момент tx исчезает скольжение, т. е. имеем а = 0, то дальнейшее движение, начиная с этого момента, будет представлять собой чистое качение.
Действительно, предположим, что тотчас же после момента снова начинается скольжение и, например, соответствующая скорость о, по предположению равная нулю при t—tx, в моменты, непосредственно следующие за моментом tv будет больше нуля. Тогда при t=tx будем иметь а > 0. Ho тотчас же после момента tx вследствие того, что для А должны иметь место законы динамического трения, необходимо положить А = —fp, так что правая часть равенства (36) принимает вид
—p{f+-&(/—?)}; достаточно вспомнить условие |Г|<А/> и принять во внимание, если необходимо, неравенство (32), чтобы убедиться, что речь идет о величине существенно отрицательной, что противоречит неравенству а > О, только что выведенному из предположения, что а тотчас же после момента может стать положительной.
Аналогично исключается также и предположение, что скорость о может стать отрицательной, так что остается в качестве возможного единственный случай, когда а сохраняет величину, равную нулю; легко убедиться, что это и есть тот случай, который на самом деле имеет место, так как он совместим с эмпирическими законами трения.
38
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Действительно, трение скольжения А, при котором скорость скольжения а может оставаться равной нулю, определяется по абсолютной величине на основании уравнения (36) равенством
так как при этом Г = ± hp при со ф 0 и | Г hp всякий раз, как ш исчезает, то в силу (32) получится | Г [ < frp и, следовательно, | А | </р.
б) Рассмотрим фазу чистого качения (спонтанное качение), которая, как мы только что видели, наступает за моментом tt, когда исчезает а. В этой фазе в любой момент удовлетворяется условие отсутствия скольжения
V-\-nо = О, (27)
которое вместе с уравнениями (35) путем исключения V и А дает уравнение
т (г2 —S2) о> = Г,
где при <лф.О надо положить Y = ±hp со знаком, обратным знаку ш.
Поэтому в общем случае, когда значение Co1 величины со, соответствующей моменту tx, не равно нулю, будет иметь место равнозамедленное движение, угловая скорость которого со, начиная с момента I1 и до того момента, пока она будет отличной от нуля, определяется равенством
figr
CO = CO1 ± (t — tt) упргв* •
Отсюда следует, что эта угловая скорость сведется к нулю по истечении промежутка времени
г — (r~ + I Ш1 і
Hg
в конце которого движение прекращается, потому что, как в этом можно было бы убедиться путем рассуждения, аналогичного а), на основании эмпирических законов динамического трения (качения) угловая скорость со должна оставаться равной нулю.
Далее, если имеем Oi1 = 0, то уже в момент tx движение прекращается; можно сказать, что и эта возможность содержится в рассмотренном выше общем случае, так как выражение, полученное для продолжительности фазы T затухания движения, исчезает при Co1 = O.
в) После этих предварительных замечаний мы без труда можем отдать себе отчет о процессе затухания движения при каких угодно начальных условиях.
Пусть V0 и со0 будут заданными начальными значениями для V и со. Если соответствующая скорость скольжения о = V0 4- гсо0 будет равна нулю, то уже начальный момент можно принять за тот, который ранее мы обозначили через Z1, так что остановка произойдет по истечении
§ 6. КОЛЕСО НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
39
некоторого конечного промежутка времени, причем будет иметь место только чистое качение.
Если, наоборот, P0 будет отлично от нуля, то всегда можно будет предположить, ориентируя надлежащим образом ось ?, что O0 >0. Трение скольжения, по крайней мере в начале движения, будет динамическим, так что закон изменения о с временем, до некоторого момента tu когда а обращается в нуль, определяется уравнением (36), в котором полагаем А = —fp и | Г | hp. В правой части этого уравнения во всяком случае будет иметь преобладающее значение отрицательный член трения скольжения
-(1 +т*)/р>
так как даже в самом неблагоприятном случае, когда (при ш < 0) следует принять Г = hp, правая часть принимает значение
—р{/ + -р(/— у)}>
