Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, что для того, чтобы движение твердого тела S имело только что описанный характер, действующие силы и связи, наложенные на тело S, а также структура самого тела должны удовлетворять соответствующим условиям. В следующем пункте будет показано, что для того, чтобы твердое тело 5, предполагаемое вначале находящимся в движении, параллельном неподвижной плоскости те, продолжало двигаться параллельно этой плоскости, достаточно, чтобы:
а) результирующая внешних сил (прямо приложенных и реакций связей) была параллельна плоскости те и результирующий момент тех же сил относительно произвольной точки плоскости те был перпендикулярен к этой плоскости;
б) перпендикуляр, проведенный в начальный момент к плоскости те из центра тяжести G, был для S главной осью инерции.
§ 5. ДВИЖЕНИЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЛОСКОСТИ. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ 25
Отметим теперь же, что это второе условие само собой выполняется, если речь идет не о твердом теле в собственном смысле,, а о неизменяемой материальной плоской системе, целиком лежащей в плоскости те, или, как мы будем говорить, о плоском (твердом) диске. Действительно, если в этом случае обозначим через С третью ось системы отсчета 2;-цС, перпендикулярную к тс, то третьи координаты всех материальных точек системы S будут равны нулю, и„ следовательно, обратятся в нуль два произведения инерции
i’i'i ’ j’І*
В последующем изложении этого параграфа мы будем заниматься действительным определением движения, допуская прямо, что условия а) и б) выполнены для материальной системы, а для удобства представления и изложения мы будем всюду говорить о плоском диске, представляя себе вместо заданной системы 5 диск, если система и не является таким диском. Центр тяжести О этого диска мы будем считать совпадающим с центром тяжести системы S, массу его т — равной массе системы 5 и главный центральный момент инерции С относительно той оси, неизменно связанной с телом а проходящей через центр тяжести О, которая, по предположению, вначале перпендикулярна к тс,— равным w8a (где 8 есть радиус инерции).
13. Динамические и структурные условия плоского движения» Покажем теперь, почему условия а) и б), приведенные в предыдущем пункте, достаточны для обеспечения того, чтобы движение твердого тела постоянно оставалось параллельным неподвижной плоскости те, если начальное состояние движения было параллельно тс.
С этой целью возьмем основные уравнения (1) и (2'), принимая за центр приведения моментов центр тяжести G системы и относя эти уравнения к системе координат плоскость которой С = О,
как и в предыдущем пункте, совпадает с плоскостью тс, проходящей через центр тяжести G. В силу предположения a) R,, Mb Мщ постоянно равны нулю, так что если спроектируем первое основное уравнение на ось Q, а второе — на оси Ё и ч\, то получим три скалярных уравнения
dQc dK^__n dK,, _ п
dt ’ dt ’ dt ’
которые тотчас же дают
Qr = const, /Q = Const, /C71 = Const. (15)
Если теперь примем во внимание предположение б) и допустим, что в начальный момент движение параллельно плоскости тс, то-легко убедимся, что все постоянные в правых частях равенств (15) равны нулю. Чтобы доказать это, достаточно убедиться, что они.
26
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
равны нулю в начале движения; для этой цели начнем с замечания, что из того предположения, что начальное движение должно происходить в плоскости, параллельной плоскости C = O1 следует, что центр тяжести G движется параллельно этой плоскости, так что в начальный момент (и, следовательно, в течение всего движения) Qr безусловно будет равно нулю. Что же касается центрального результирующего момента количеств движения К, то он связан с угловой скоростью (О посредством аффинора инерции, а в силу предположения б) направление оси С, перпендикулярной к - и в начале движения являющейся главной осью аффинора инерции (главной осью инерции для твердого тела), будет также и направлением вектора <и, гак как этот вектор вначале направлен по оси С; то же самое будет лметь место и для вектора К¦ Поэтому в начале движения (а следовательно, и во все время движения) обе проекции К, Kri вектора К обращаются в нуль.
Остается только доказать, что из постоянного равенства нулю величин Ki, Kn следует, что движение будет происходить всегда в плоскости, параллельной плоскости и, если только оно было таковым вначале; из уравнения Qr = 0 и из известного тождества Q-THVg заключаем, что центр тяжести движется в плоскости, параллельной 7г. Теперь достаточно убедиться, что та главная ось инерции твердого тела, которую мы предполагаем вначале перпендикулярной к этой плоскости, остается перпендикулярной к ней во все время движения.
Для этой цели согласно с тем, что было сказано в общем случае в п. 3, введем сначала систему отсчета, неизменно связанную
с телом, и воспользуемся в этом частном случае известными классическими уравнениями (Эйлера), большую важность которых мы покажем в следующей главе.
За такую систему, неизменно связанную с телом, возьмем систему осей Gxyz, в которой ось Gz совпадает с главной осью инерции, вначале перпендикулярной к плоскости к (и ориентированной так же, как QQ, а оси Gx и Gy представляют собой две другие главные оси инерции, проходящие через G (или две любые другие оси, перпендикулярные между собой, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения относительно Gz). Проекции результирующего момента количеств движения на оси системы Gxyz определяются (гл. IV, п. 16) равенствами
