Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
б) Предположим, что константа слабого взаимодействия фактически меньше, чем принятая на сегодняшний день.
в) Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше нейтрино, чем антинейтрино или фотонов. 84
ГЛАВА Ij
г) Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше антинейтрино, чем нейтрино или фотонов.
д) Предположим, что гравитационная постоянная G меняется в космологических масштабах времени и в прошлом была несколько больше, чем сейчас.
Задача 19.30. Предположим, что Вселенная является изотропной, однородной и пустой; тем не менее, при этом существует тензор энергии-импульса, обусловленный «поляризацией вакуума» и имеющий вид
8я T7tlv = Agjiv.
(На прежнем языке это значило бы: существует не равная нулю космологическая постоянная А.) Найдите космологическое решение с k = 0, а также найдите систему координат, в которой это решение было бы статическим. Такая модель называется Вселенной де Ситтера.
Задача 19.31. Вселенная является изотропной, однородной и содержит только не создающую давления пыль; кроме того, ее тензор энергии-импульса, обусловленный поляризацией вакуума, имеет вид
т — л
hv — POmHwV §я SU\> І
где Uv-- поле 4-скоростей вещества. Покажите, что для такой метрики существует статическое решение, но оно неустойчиво. Эта космологическая модель называется Вселенной Эйнштейна.
Задача 19.32. Чему равен собственный объем Вселенной Эйнштейна из задачи 19.31, выраженный через плотность пыли р0?
Задача 19.33. Одно время казалось, что наблюдательные данные указывают на необычное скопление значений красного смещения квазаров вблизи z = 2. Одна из попыток объяснить этот факт состояла в предположении, что наша Вселенная представляет собой заполненную пылью космологическую модель с k= + 1 и не равной нулю космологической постоянной А, причем значение последней лишь чуть-чуть превосходит соответствующее значение для статической модели Эйнштейна (см. задачу 19.31). Покажите, что в этой модели Вселенная будет расширяться с уменьшающейся скоростью до некоторого радиуса Rm, вблизи которого она будет оставаться в течение длительного времени, продолжая при этом расширяться чрезвычайно медленно, после чего вновь начнет расширяться со скоростью, которая асимптотически стремится к значению H = (А/3)'/2. ЗАДАЧИ 125
77
Предположим, что квазары образуются в эпоху, когда радиус почти постоянен. Какое современное значение плотности рвещ предсказывает эта модель? (Считайте, что H0=IO 2s см-1.)
Задача 19.34. Каково по порядку величины то влияние, которое оказывает наличие космологической постоянной на небесную механику Солнечной системы, если А~ 10 57 см-2?
Задача 19.35. Докажите, что для физически реализуемой идеальной жидкости не существует решения уравнений Эйнштейна, которое было бы однородным, всюду изотропным и статическим. (До открытия Хаббла Эйнштейн считал этот факт доказательством несостоятельности своей теории и, пытаясь исправить положение, ввел в уравнения член с «космологической постоянной».)
Задача 19.36. Докажите, что не существует статических решений уравнений Эйнштейна для жидкости без давления. Не используйте предположения об однородности или изотропии. (Трудность этой задачи зависит от определения «статичности». Более легкий случай: пусть термин «статический» понимается в смысле первого определения «статичности» из задачи 10.8, т. е. как «не зависящий от времени и инвариантный относительно обращения времени». Более трудный случай: используйте второе определение из задачи 10.8.)
Задача 19.37. Докажите, что для идеальной жидкости не существует статических и однородных решений уравнений Эйнштейна. Не используйте предположения об изотропии. (Здесь, как и в задаче 19.36, существует более легкий и более трудный случай в зависимости от использованного определения «статичности».)
Задача 19.38. В космологии обычно используют координаты, сопутствующие галактикам. Пусть (т, Xі) есть такая система координат, и пусть метрика записана в общем виде
ds2 = — dx2 + 2g0idxdxl -f- gtjdx?dxl,
где got и gij могут быть функциями от т и х'. Покажите, что:
а) т есть собственное время для некоторой галактики;
б) собственные расстояния на гиперповерхности с постоянным т завиит от gij\
в) если goi и gij не зависят от всех Xі, то Вселенная является однородной, но обратное утверждение несправедливо;
г) если goi и gif не зависят от т, то Oap = O, O = O, но, вообще говоря, coa? ф 0;
д) если goi = 0 и gij = } (х) gij (Xk)t то Oy = Oj 84
ГЛАВА Ij
е) got, o = 0 в том и только в том случае, если галактики движутся по геодезическим;
ж) если соар Ф 0, то никаким выбором тих' нельзя всюду обратить в нуль goi, а это означает, что из условия соар,0^0 следует, что галактики не движутся по геодезическим.
Задача 19.39. Расстояние между двумя соседними галактиками есть
бx? = Rna, где п —единичный, чисто пространственный вектор в покоящейся системе отсчета, связанной с одной из галактик. Покажите, что
где а —тензор сдвига, а О — скалярное растяжение, и покажите, что усреднение по всем направлениям па дает
