Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
[Kij\ — 8л*т {uiuj + у<S) gij^j > da , ЗАДАЧИ
133
а+ — а- = 4лсгп,
а+ + а- = 0,
где а+ и а~ —4-ускорения, измеряемые соответственно снаружи ц изнутри оболочки.
Задача 21.11. Вакуумная метрика вне коллапсирующей сферической пылевой оболочки представляет собой геометрию Шварцшильда
ds2
„(1 -2-f)dt2 + (l -Vfy1 dr* + r4Q\
а внутри оболочки — плоскую геометрию
ds2 = — dT2 + dr2 + r2dQ2.
Очевидно, что радиальные координаты в обеих этих метриках обладают тем свойством, что 4пг2 есть собственная площадь сферических поверхностей Г = COnst И t ИЛИ T = COnst.
Покажите, что для коллапсирующей сферической пылевой оболочки «масса покоя оболочки» ц = 4nR2 (т) а есть величина постоянная. Здесь о — поверхностная массовая плотность оболочки, a 4nR2 (т) — площадь поверхности оболочки как функция ее собственного времени. Выведите уравнение движения оболочки
+(3)7-S-
а затем, проинтегрировав его, найдите (в неявном виде) функцию Д (т) для случая dR/dr = 0 при R = сю.
Задача 21.12. Найдите мгновенную пространственную метрику, соответствующую произвольному распределению N точечных масс в некоторый момент наступления симметрии (см. [1], т. 1, § 21.10).
Задача 21.13. Предположим, что мы отождествляем 4-векторы Ua с 2-индексными спинорами Uaa' с помощью отображения
_
(U0, U\ U2, U3)-+ 2 "
U0 + U1 U2 + г (/3I U2-IU3 U0-U1J-
Что является аналогом метрики Минковского на языке спиноров? Другими словами, требуется найти Laa'Bb>, такое, для которого U-V = T1op^lZP = Laa'BB'Vaa'Vbb' ¦
Указание. Воспользуйтесь спинором (Bab) = (еАВ)
134
ГЛАВА 20
Что является в спинорном формализме аналогом преобразований Лоренца?
(Примечание. Используемые здесь и в последующих задачах спинорные обозначения можно найти, например, у Пирани (Tra-utman A., Pirani F. A. E., Bondi H., Lectures on General Relativity, Prentice-Hall, 1965.)
Задача 21.14. Покажите, что
а) ел[весо] = 0,
1 с
б) іab = I(AB) + у 8Aflic >
где \ав~произвольный 2-спинор. (Примечание. Эта и две следующие задачи были предложены Т. Сейновским.)
Задача 21.15. Пусть
Tab = Таа'ВВ'•
Покажите, что если тензор Tab антисимметричен, то дуальный ему тензор в спинорном представлении имеет вид
* Tab = у і (Tabb'А' — ТвАА'в')-
Задача 21.16. Пусть в спинорном представлении
Tab = Таа-вв'. Какой тензор соответствует Тва'ав•? РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
Решение 1.1. и = (у, у»), где Ys(I-Os) 1/1 = и0 = dt Idx. Следовательно,
а) W0 = (I-Wi)-vS
б) ^ = (I-Ui)-Vf7,
в) U-U = — 1, поскольку U — 4-скорость, и
и0 = [ 1 + (и1)2 + (и2)2 + (и3)2]'/. == (1 + u?u,yi\
г) d/dx = (dt/dx) d/dt = (1- и2)-'/, d/dt,
д) vJ = и>щ° = uJ (1 + UtUl)-11',
е) из п. а следует, что | u| = [1 — (ы°)~2]'/..
Решение 1.2. В первом случае произведение преобразований равно
^Vx yxVx О Ol Г у» О у yVy 01 Г YxYi/ V*»* VxVyvy О"
VxVx Ух ООО 10 0 = УхУуУх Ух VxyyVxVy О О 0 1 0 yyVy О у у 0 Yj,Vy О уу О
.о. о о іJ Lo оо IJ Lo о о і.
Изменив порядок преобразований, мы получим другое произведение:
Ve OYfffyOirY* yxvx 0 01 Гухуу yyyxvx yyvg О" О 10 0 yxvx ух 0 0 _ yxvx ух 0 0 VyVy 0 уу 0 0 0 1 0 YxVyVy VxVyVxVy уу 0 '
.о о о і J Lo о о IJ L о о 0 1. 136
РЕШЕНИЯ
Решение 1.3. Пусть U1 и U2- 4-скорости двух систем отсчета. В системе отсчета 1 U1 = (1, 0), U2 = (у, yv), где у = (1 — и2)-'<4 Поскольку у = — U1-U2, то необходимо лишь вычислить этот скаляр в общей системе отсчета, в которой U1 = ^1, T1Ui), U2 =(у2, УгР%)'-
Y = -U1-U2 = YiY2 - YiYafi 7V2 = (1 - V2)-l-f2 = (YiY2)"2/(l-fi-fa)4,
= ("і -Gx-X^Y
(I-U1-U2)2 (1-?-?2
(В правильности полученного результата можно убедиться и прямым путем, произведя весьма громоздкие преобразования Лоренца.)
Решение 1.4. Воспользуемся тем, что в одном измерении «параметр быстроты» ft = Arthu аддитивен. Это означает, что Arthun = Gn = Wft = WArthp, или
и„ = th (п Arth ?) =
— th('n(|~p) /= (нетрудно проверить!)
_ 1-[(1-Р)/(1 + Р)]д l + [(l-?)/(l+?)]"'
У-
11 11 I Il I I I I I I I I I I I I I I I I I
«А \
у
\
4 ,«О-1 \
№
Фиг, 3. ГЛАВА 1
137;
При п-*-оо имеем
[(1 — ?)/(l +?)]"-»-0 и u„-»-l (к скорости света).
Решение 1.5. Традиционный ответ Ь/у относится к измерениям, произведенным одновременно в лабораторной системе отсчета, но фотоны в лабораторной системе отсчета испускаются не одновременно. Они приходят одновременно, в силу чего (см. фиг. 3) фотон 2 должен пройти за дополнительное время путь V cos а, где Ь'— кажущаяся длина пули. Из преобразования Лоренца находим
Ь = Д* = у (Axf-? ДО = Y P Ь' cosa),
откуда
b' = b/ y(1 — ?cosa).
Решение 1.6. Если оба наблюдателя покоятся относительно одной и той же лоренцевской системы отсчета, то (расстояние) =
= (скорость) X (время) и /туда и обратно = 2L/«. Картина несколько усложняется, если один из наблюдателей движется. Координаты движущегося наблюдателя равны
f = Y (t — vx),
x' = y(x-vf),
и тахион, испущенный из движущейся системы отсчета по направлению к стационарному наблюдателю, имеет скорость
