Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 19.2. Пространство-время не содержит вещества и является всюду изотропным. Докажите, что оно представляет собой плоское пространство Минковского.
Задача 19.3. Некоторый объект испускает чернотельное излучение с температурой T в собственной покоящейся системе отсчета; мы наблюдаем это излучение при красном смещении г и в телесном угле Q. Чему равен измеряемый нами поток излучения? Что изменится, если красное смещение не является космологическим, а обусловлено доплеровским движением локального объекта?
Задача 19.4. Однородные изотропные пространственные гиперповерхности должны в силу сферической симметрии обладать линейным элементом вида
da2 = a2[f2(r)dr2 + r2dQ2], a = const.
Покажите, что функция f2(r) должна иметь вид (1 —kr2)'1, где k = 0, ±1.
Задача 19.5. Покажите, что метрику Робертсона — Уокера ds2 = — dt2 + R2 (t) Ij^t + г2 (^2 + si°2 О V)] можно также переписать в виде
ds2 = — dt2+ R2 (t) [dx2 -f S2 (х) (dft2 + sin3 ft d<p2)J, ЗАДАЧИ
77
ИЛИ
ds2 = R2 (ті) [- dr)2 + dt + S2 (х) (dft2 + sin2 ft dcp2)],
где
Г sin2x Для ?=+1,
^2(X)= X2 Для ? = 0,
( sh2x Для ? = —1.
Задача 19.6. Покажите, что пространственноподобные 3-поверхности в закрытой изотропной Вселенной обладают трансляционной симметрией, не оставляющей ни одной неподвижной точки. (Обратите внимание, что для двух измерений это неверно: как бы мы ни «причесывали» 2-сферу, все равно останутся два «хохолка»!)
Задача 19.7. В расширяющуюся Вселенную Робертсона — Уокера выстреливается пуля, обладающая скоростью V1 относительно космологических наблюдателей. Позже, когда Вселенная расширилась в (1+z)-1 раз (эта величина называется масштабным фактором), пуля обладает уже другой скоростью V2 относительно космологических наблюдателей. Выразите V2 через V1 и г. Покажите, что в пределе V1-VC получается формула для красного смещения фотонов.
Задача 19.8. При помощи некоторого явного координатного преобразования покажите, что метрика Робертсона — Уокера является конформно-плоской. Выразите A^va? через guv, р, р и 4-скорость вещества и11.
Задача 19.9. Покажите, что в метрике Робертсона — Уокера расстояние до объекта dA, определяемое по его видимому угловому размеру, расстояние dL, определяемое по светимости (или фотометрическое расстояние), и расстояние dM, определяемое по собственному движению объекта, связаны соотношениями
Задача 19.10. Предположим, что астрономам удалось выделить класс объектов с известными значениями абсолютной светимости L. Предположим далее, что мы измеряем их видимый блеск і (или фотометрическое расстояние до этих объектов dL) и красное смещение z. Используя выражение для линейного элемента Робертсона — Уокера, выразите ( (или dL) как функцию L, г, H0 и q0 для малых значений г.
Задача 19.11. Пусть л (Z0) — взятая в современную эпоху плотность числа идентичных, привадлежащих к одному (гипоте-
(1 + г)ЫА = (1+г) dM = dL. ГЛАВА 19
тическому) классу световых или радиоисточников, однородно распределенных во Вселенной.
а) Покажите, что число таких источников с красными смещениями, меньшими г, определяемое по наблюдениям с Земли в современную эпоху, есть
В данном случае мы пренебрегаем эволюционными эффектами, т. е. считаем, что число источников в единице сопутствующего объема остается постоянным.
б) Если все источники обладают одной и той же истинной светимостью L, покажите, что число источников, для которых поток излучения [в эрг/(с-см2)] превосходит значение S, определяемое по наблюдениям с Земли в современную эпоху, равно
»ю-^&П'-^иГ+"]-
Задача 19.12. Световой луч распространяется вдоль радиальной линии в метрике Робертсона — Уокера
ds2 = — dt2 + R2 (t) Ij^5 + г2 dQ2].
Как координата г связана с аффинным параметром Я вдоль траектории луча или, другими словами, чему равно dr/d№
Задача 19.13. Исходя из требования, чтобы метрика Робертсона—Уокера удовлетворяла уравнениям поля Эйнштейна, выведите динамические уравнения для космологической модели Фридмана, заполненной идеальной жидкостью:
3R + 4nG(p + 3p)R = 0, (1)
R$ + 2R2 -\-2k — 4nG (p — p) Rz = 0. (2)
Задача 19.14. Покажите, что два дифференциальных уравнения второго порядка из задачи 19.13 эквивалентны уравнениям первого порядка:
R2 + k = 8-^pR2, (1)
^ (PR3) = -HpR2. (2)
Задача 19.15. Для фридмановской космологической модели выведите соотношения
^re = ? + (1)
-8nGp==^ + H2(l-2q). (2) ЗАДАЧИ
77
Если в модели преобладает вещество (р^>р), покажите, что
± = (2q-\)H\ (3)
^ = 2 qH\ (4)
Если преобладает излучение покажите, что
k=(q-\)H\ (5)
в?
8ябр 3
¦qH\ (6)
Задача 19.16. Какие уравнения, связывающие р, р и R (t), являются во фридмановской модели следствиями уравнения сохранения энергии, TVv = O?
Задача 19.17. Для фридмановской модели с k =— 1 и р = = р = 0 покажите, что линейный элемент имеет вид
ds2 = — dt2 +12 [dx2 + sh2 X (dft2 + sin2 ft dy2)].
Укажите явный вид координатного преобразования, показывающего, что эта метрика описывает пространство Минковского.
