Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 18.3. Для электрического диполя и, соответственно, для исходящего от него излучения имеются три независимые ориентации, соответствующие трем направлениям, вдоль которых может быть направлен диполь. Сколько независимых ориентаций существуют для бесследового тензора квадрупольного момента?
Задача 18.4. Вычислите мощность гравитационного излучения от тонкого металлического стержня массы M и длины I, вращающегося с частотой со вокруг симметрично расположенной относительно его концов перпендикулярной к нему оси. Оцените мощность электромагнитного излучения, которое будет возникать за счет незначительного избытка электронов на концах стержня (электроны отталкиваются к концам центробежной силой). Если принять разумные значения для плотности (10 г/см3) и частоты вращения (1 кГц) стержня, то какое излучение — электромагнитное или гравитационное — будет играть более существенную роль в замедлении вращения стержня?
Задача 18.5. Силы реакции излучения, действующие на медленно движущийся (почти-ньютоновский) источник, можно получить, добавляя к ньютоновскому потенциалу потенциал «реакции излучения» вида
фреакц = 1 ^Xk.
[Ср. статью Берка (Burke W., Journ. Math. Phys., 12, 402 (1971)) или [1], т. 3, стр. 208]. Здесь Jyft-приведенный квадрупольный момент источника
^jk ~ j р (Х]Хк ~ І Syft/"2)d%X
в некоторый данный момент времени. Индекс (5) означает пятую производную по времени. Из этого потенциала выведите выражения для усредненных по времени скоростей потери источником энергии и момента количества движения, записанные через производные от Jyft.
Задача 18.6. Две звезды с массами M1 и M2, разделенные расстоянием R, обращаются вокруг общего центра масс по нерелятивистской круговой орбите. В результате торможения грави- 84
ГЛАВА Ij
тационным излучением R меняется со временем. Найдите функцию R (t).
Задача 18.7. Две точечные массы тх и т.г движутся по ньютоновской эллиптической орбите с большой полуосью а и эксцентриситетом е. Рассчитайте da/dt и de/dt, обусловленные торможением гравитационным излучением. Покажите, что эллиптическая орбита постепенно приближается к круговой.
Задача 18.8. Плоская гравитационная волна распространяется в почти плоском пустом пространстве-времени вдоль направления x1 (другими словами, возмущения метрики ha§ суть функции только от u = t — x). Найдите в явном виде координатное преобразование, обращающее в нуль все Ziap, за исключением ^23 = ^32 и ^22 = — ^зз- Покажите, что те же самые результирующие компоненты можно было бы получить непосредственно, если перейти с помощью проектирования к поперечно-бесследовой калибровке.
Задача 18.9. Покажите, что генерируемое аксиально-симметричной системой гравитационное излучение не переносит суммарного момента количества движения. (Не используйте предположения о том, что источники обладают слабыми внутренними гравитационными полями.)
Задача 18.10. Определите параметры Стокса для плоской гравитационной волны и покажите, как из трех параметров Стокса можно вычислить степень линейной и круговой поляризации волны, а также ориентацию максимума линейной поляризации.
Задача 18.11. Первоначально статический источник приводится в резкое движение, в результате возникает гравитационное излучение. Затем, спустя конечный промежуток времени, источник вновь становится статическим. Удаленный наблюдатель регистрирует гравитационные волны, следя за движением двух свободных частиц, находящихся первоначально в состоянии покоя относительно друг друга. Покажите, что после прохождения гравитационных волн наблюдатель вновь обнаружит частицы в их первоначальных положениях покоящимися относительно друг друга в первом порядке по амплитуде волны.
Задача 18.12. Упругий стержень может использоваться для детектирования гравитационных волн не только на низшей нормальной моде его колебаний (частоты ш0), но также и на гармониках со„ == nCD0. Какова чувствительность п-й моды по отношению ЗАДАЧИ
77
к нулевой, т. е. как зависит от п отношение максимума квадрата амплитуды смещения к потоку энергии волны? (Предположите, что стержень обладает той же самой постоянной времени механического затухания для всех мод.)
Задача 18.13. Слабая плоская гравитационная волна, распространяющаяся в направлении оси х, падает по нормали на цементную плиту. Цемент поглощает из волны энергию Е. Покажите (например, исходя из уравнений движения TtivJv = 0), что плита должна также поглощать ^-составляющую импульса, равную Е, и найдите соотношение между скоростями поглощения энергии и лг-составляющей импульса.
Задача 18.14. В предыдущей задаче было показано, что материальные среды должны поглощать составляющую импульса вдоль направления распространения волны. На первый взгляд это кажется несовместимым с представлением о гравитационных волнах как поперечных волнах! Чтобы исследовать данную проблему, построим идеализированную модель поведения молекул цемента из предыдущей задачи. Предположим, что они приходят в гармоническое движение при отклонении от положения равновесия и что существует некоторая сила затухания, обусловленная внутренним трением в цементе. Предположим также, что гравитационная волна является монохроматической и линейно поляризованной. Используя уравнение расхождения геодезических, найдите среднее по времени значение силы (и, следовательно, скорость поглощения импульса), действующей в направлении распространения волны. Покажите, что найденная скорость поглощения импульса равна той же скорости, с которой молекулы поглощают энергию.
