Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 17.13. Покажите, что площадь поверхности горизонта черной дыры Keppa — Ньюмана (т. е. площадь поверхности г = г+, t = const в координатах Буайе—Линдквиста) равна
4я {[М + (M2 - Q2 - а2)'/*]2 + а2}-
Задача 17.14. Исходя из теоремы Хокинга («при соударении двух черных дыр суммарная площадь их поверхности никогда не может уменьшаться»), найдите, чему равна наименьшая масса M2 шварцшильдовской черной дыры, возникающей в результате столкновения двух керровских черных дыр с равными массами M1, но с параметрами момента количества движения, имеющими разные знаки: C1 = -O2. Если предположить, что | а\ ^M, то какую долю первоначальной массы можно превратить в уходящее излучение? Существуют ли другие процессы соударения незаряженных черных дыр, дающие столь же большой выход энергии?
Задача 17.15. Используя теорему о том, что площадь поверхности черной дыры не может уменьшаться (см. задачу 17.14), докажите, что керровская черная дыра усиливает (а вовсе не поглощает) некоторые моды падающего на нее поля излучения. 84
ГЛАВА Ij
Задача 17.16.
а) Запишите скалярное волновое уравнение Q<p = 0 в геометрии Keppa в координатах Буайе — Линдквиста.
б) Покажите, что методом разделения переменных это уравнение может быть сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
в) Найдите асимптотический вид Ф при г -> оо.
г) Найдите асимптотический вид Ф при /•->/•+.
д) Какое граничное условие для Ф соответствует входящим волнам с точки зрения расположенного на горизонте физического наблюдателя?
е) Покажите, что для волны вида
Ф = ехр (— Ш -f- /mcp) f (г, Ф)
энергия выходит из дыры наружу, если 0 <а/пКа/(2Мг+). Сравните с результатами задачи 17.15.
Задача 17.17. В черную дыру Рейсснера — Нордстрема с Q2CM2 падают по радиальному направлению заряженные частицы. Покажите, что в дыру никогда нельзя будет ввести заряд, достаточный для того, чтобы начало выполняться соотношение Q2>M2, соответствующее «голой» сингулярности, а не решению типа черной дыры.
Задача 17.18. В геометрии Керра «наблюдателям с нулевым моментом количества движения» соответствует базис 1-форм вида
= (?фф),/2 (? - &dt),
o' = (2/A y/'dr,
<»* = Z'/'dQ,
где м = -^ф/ёфф.
а) Покажите, что этот базис 1-форм является ортонормиро-ванным.
б) Найдите дуальные базисные векторы.
в) 4-скорость наблюдателя с нулевым моментом количества движения есть u = ej; покажите, что и обладает нулевым вращением (см. задачу 5.18).
г) Наблюдатель с нулевым моментом количества движения не является инерциальным наблюдателем; покажите, что его ускорение равно
a = J V In -(O2^w |.
Задача 17.19. Вычислите гауссовскую кривизну горизонта керровской черной дыры и покажите, что она становится отри- ЗАДАЧИ
77
цательной при а> З'^М/2. (Это означает, что при а > 31/*М/2 поверхность горизонта не может быть глобально погружена в евклидово 2-пространство.) С помощью теоремы Гаусса —Бонне проверьте, что топологически поверхность горизонта есть 2-сфера.
Задача 17.20. Покажите, что реликтовая (возраста IO10 лет) вращающаяся черная дыра массой <. 1015 г уже должна была потерять большую часть своего момента количества движения за счет спонтанного квантового излучения фотонов или гравитонов. Какая доля момента количества движения вращающейся черной дыры с массой 1ЛІ0 IO33 г) была бы потеряна за тот же период?
Задача 17.21. Рассмотрим вакуумную метрику вида
[\-\-mlpf [l_lm/p]2 ds2= _ \-f-1 dt2 + j-g-L. (dp2 + pW + P2 sin2 ftdcp2);
(!+Tm-Pj (l-y^/p)
она является частным решением статической сферически-симметричной задачи в теории тяготения Лайтмана— Ли. Описывает ли приведенная выше метрика черную дыру, и если да, то как свойства такой дыры отличаются от свойств аналогичной дыры в общей теории относительности? ГЛАВА 18
ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Слабые гравитационные волны описываются линеаризованной теорией (см. гл.13). Основные уравнения для таких волн, распространяющихся в пустоте, имеют вид
Эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн есть
где угловые скобки означают усреднение по нескольким длинам волн, a hjk записывается в поперечной калибровке со следом, равным нулю (см. [1], гл. 36.7).
Мощность гравитационного излучения Low, искупаемого почти-ньютоновским, медленно движущимся (v-k^c) гравитирующим источником, равна
где ї/к —так называемый «тензор приведенного квадрупольного момента» источника, дающийся выражением
а угловые скобки означают усреднение по нескольким характерным периодам источника.
Задача 18.1. Автомобилист из Массачусетса рассерженно грозит кулаком другому автомобилисту. Какая доля расходуемой им энергии уходит на гравитационное излучение?
guv = + Kv (I V К1)» h^iv = Kv 2" 1Iiivt I I Kv ^ Kv'aa = 0,
№а-,а = 0 («лоренцевская калибровка»), Кй = 0, haa = 0 («поперечно-бесследовая калибровка»).
ЗАДАЧИ
77
Задача 18.2. Динамическая система с гравитационной связью (например, двойная звезда) обладает массой M и размерами R (рассматривается только порядок величин). Оцените время, необходимое для того, чтобы система испытала ощутимое влияние сил реакции излучения, и сравните полученный характерный масштаб времени с динамическим масштабом времени системы.
