Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
P==E(r* + a?)-Lza-eQr,
Vr = Pi- Д [|i2r2 + (L1 - аЕ? + X],
cos2ft [a2(ц2-E2) + L2/sin2ft], ЗАДАЧИ
77
Е — сохраняющаяся полная энергия;
L* — сохраняющаяся г-компонента момента количества движения;
,5? —сохраняющаяся величина, связанная с полным моментом количества движения;
р, —масса покоя частицы;
е — заряд частицы.
Шварцшильдовская черная дыра представляет собой частный случай решения Keppa — Ньюмана при a = Q = 0. Черная дыра Рейсснера —Нордстрема есть частный случай при а = 0, Q=^O; она сферически-симметрична. Керровская черная дыра —это частный случай при аф 0, Q = 0. Определяющим свойством черной дыры является наличие горизонта — поверхности, сквозь которую вещество может падать на центр, но от которой ни вещество, ни несущие информацию сигналы не могут уйти на бесконечность. Для случая керровской дыры эта поверхность расположена при г = г+, являющемся значением большего корня уравнения Д = 0. Пределом статичности для вращающейся черной дыры называется поверхность, внутри которой все наблюдатели обязательно увлекаются в орбитальное движение вокруг центра дыры. Для керровского случая предел статичности располагается приг = г0, являющемся большим корнем уравнения git = 0. Область, расположенная между горизонтом и пределом статичности, называется эргосферой.
Задача 17.1. Покажите, что постоянная M в метрике Keppa есть масса системы, а постоянная а —момент количества движения на единицу массы.
Задача 17.2. Предлагается использовать небольшие черные дыры для превращения в металлолом пришедших в полную негодность автомобилей. Остовы автомобилей должны спрессовываться до аккуратных круглых шариков в процессе частичного коллапса на черную дыру. Оцените, какова должна быть масса находящейся на околоземной орбите черной дыры, пригодной для такого применения. Сколько остовов в час можно переработать подобным способом?
Задача 17.3. Покажите, что после того, как ракетный корабль пересечет гравитационный радиус (горизонт) шварцшильдовской черной дыры, он достигнет точки г = 0 за собственное время т^яЛІ независимо от величины тяги, которую развивают его двигатели. 84
ГЛАВА Ij
Задача 17.4. Покажите, что закон Кеплера
Q2 = Mfr3
остается в точности справедливым для круговых орбит вокруг шварцшильдовской черной дыры, если г —радиус в координатах кривизны, a Q-угловая частота обращения, измеряемая бесконечно удаленным наблюдателем. Выведите анологичный закон для экваториальных орбит вокруг керровской черной дыры, обладающей удельным моментом количества движения а.
Задача 17.5. Наблюдатель, находящийся на круговой орбите радиусом г вокруг заряженной сферической черной дыры (черная дыра Рейсснера — Нордстрема) с массой M и зарядом Q, измеряет локальные характеристики электрического и магнитного полей. Каковы их напряженности и ориентации?
Задача 17.6. Сопоставляя значения массы, заряда и момента количества движения «классического» электрона, покажите, что он не может быть черной дырой Keppa — Ньюмена.
Задача 17.7. Для круговых орбит в экваториальной плоскости керровской черной цыры докажите, что ограниченно устойчивой орбите (случай так называемой краевой устойчивости) соответствует минимум энергии E и минимум момента количества движения L.
Задача 17.8. Некоторый (не обязательно свободно падающий) наблюдатель обращается вокруг керровской черной дыры по орбите, лежащей в экваториальной плоскости $ = 31/2.
а) Пусть орбита является круговой г = const. Будем называть Q = d<p/dt «угловой скоростью нашего наблюдателя по отношению к некоторому удаленному покоящемуся наблюдателю». Выразите и0, «ф, U0 и «ф через Й, г, M и а.
б) Предположим, что эта круговая орбита лежит внутри эрго-сферы (радиус орбиты расположен вне горизонта при г+, но внутри предела статичности при г0). Покажите, что наш наблюдатель не может оставаться в состоянии покоя по отношению к удаленному наблюдателю, или, другими словами, покажите, что угловая скорость Q для нашего наблюдателя обязана быть ненулевой.
в) Если наблюдатель находится в области < г < г+, покажите, что он не может оставаться на орбите с постоянным радиусом.
Задача 17.9. Покажите, что внутри эргосферы керровской черной дыры (а значит, вне горизонта!) существуют траектории частиц отрицательной энергии. Покажите, что космический корабль ЗАДАЧИ
77
может увеличить свою полную энергию, если во время прохождения по орбите внутри эргосферы с его борта в черную дыру будет выпущен снаряд.
Задача 17.10. Покажите, что когда пробная частица достигает горизонта керровской черной дыры (г = г+), ее «угловая скорость по отношению к бесконечно удаленному наблюдателю» равна
Q_dtp _ а
='df ~ 2Мг+ ¦
Задача 17.11. Докажите, что в геометрии Keppa существуют «квазикруговые полярные» орбиты, т. е. орбиты с постоянным значением радиальной координаты, попеременно проходящие над северным и южным полюсами. Каков наименьший возможный полярный радиус такой орбиты?
Задача 17.12. Горизонтом Киллинга называется изотропная гиперповерхность (гиперповерхность, нормаль к которой является изотропным вектором), генерируемая вектором Киллинга. Энергоповерхность («предел статичности») определяется как поверхность бесконечного красного смещения по отношению к неподвижным наблюдателям. Покажите, что для статической черной дыры эрго-поверхность совпадает с горизонтом Киллинга.
