Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
t' = y(t-vx),
X1=^y(X-Vt),
получаем
w' = у (w — ivx), х' =y(x + ivw). Чтобы преобразование выглядело как поворот
w' = cos Ош — sin dx, х' = cos dx + sin Одо,
необходимо положить
sin Ф = ivy, cos Ф = 7.
Поскольку
SinaO +COS2O = Ya (1 -ua) = l,
то
•o == arcsin (ivy) = arctg (to) = + і Arth v.
Решение 1.13. Вдоль кривой
dx2 + dy2 + dz2 - dt2 = (r2 cos2 O cos2 Ф + r2 cos2 О sin2 ер + + r2 sin2 О - r2) dl2 = r2dX2 (cos2 O + sin2 O - 1) = 0,
поэтому данная кривая изотропна.
Чтобы она была геодезической («прямой»), должно выполняться равенство dz/dt = const, а поскольку dz/dt = Sinft, то угол •O должен быть постоянным. Из выражения для dy/dt или dx/dt видно, что угол ф также должен быть постоянным. Этим требования, предъявляемые к геодезической, исчерпываются; никаких ограничений на функцию г (X) они не налагают. Но если параметр X должен быть аффинным (т. е. собственным временем), то производная dt/dX должна быть постоянной, и, следовательно, функция г (X) вырождается в постоянную.
Решение 1.14. 4-скорости нормированы так, что иаиа = —1, поэтому
("а"а) = 2T = 2а°"а-
Это соотношение налагает одно ограничение на компоненты 4-ускорения аа. В мгновенно сопутствующей системе координат иа = (—1, 0); в силу наложенного ограничения а0 = 0, а компо- 142
РЕШЕНИЯ
ненты 0/(/=1, 2, 3) произвольны. Ньютоновский акселерометр можно «построить» следующим образом. Попросим наблюдателя выпустить покоящуюся частицу в мгновенно сопутствующей ему системе отсчета и посмотрим, какую скорость dt наблюдатель приобретает относительно нее за короткий промежуток времени dx, после чего вычислим Знькяонов — dv/dx. Разумеется, в действительности частица стационарна в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета, а мы получаем ускорение du1 = = afdx относительно нее. Поскольку
«' = ^ (1-1)2)-1/2,
то
du' = (1 - V2)- W dv* + v>d (1 - V2)- v/2.
Ho V = 0, так как системы отсчета мгновенно сопутствующие, поэтому du1 = dv1, и мы получаем окончательный результат:
«'ньютонов = dvfIdx = dulIdx =
Итак, 3 независимые компоненты 4-ускорения в мгновенно сопутствующей системе отсчета представляют собой не что иное, как 3 ньютоновские ускорения.
Решение 1.15. Поскольку а*и = 0, то в локальной системе покоя наблюдателя
а = (0, 0і),
где а) — j-я компонента локально измеренного ускорения. Но тогда квадрат величины ускорения, измеренного в системе покоя наблюдателя, равен
a'sAj=(0, а^)-(0, ?})=а-а.
Решение 1.16. Из задачи 1.8 известно, что поперечная и продольная компоненты 3-скорости преобразуются по формулам
/ у-1 -/' Wi—V
"-1 = .(1 -VU1) "-I-' "II = T=^T'
а время —по формуле
f = y(t-V.x). Переходя к дифференциалам, получаем '
du' - Tldu± і _ V1Pl-W.) ^+W1 tf«,]
twJ-- (I-W1) +(1-W|)aa"ll--(l-t,«,)* »
Ju' _ du,___o(o—и,) du, y-*du,
11 l—VU, (1—0«,)» =(1 — 0«,)2» ГЛАВА 1
143;
dt' = у (dt — v-dx) = ydt( 1 -l>-u) = ydt (1 — vuq),
du і у-* у-* " л
~dT~ = 0Il= (I-CU1)3 ?ll = (1-"?.?3(0гвет)
Далее:
=Si= (1Ц|)8 [(1 - Щ) ? і + о и ja] =
= (ТІ^г P-L - v ("I^ -L - "J-0«)] =
== (1 XbJ^jl - f x X ")]• (Ответ)
[В последней строке мы воспользовались тем, что
ах и = (а± + ці) X («і+ иц) = = Olх uII + aIIх иі . и правилом разложения тройного произведения.]
Решение 1.17. Если ускорение направлено по оси х, то координаты д и Z можно выбрать, положив у = ff и Z = 2. Заметим, что ускорение постоянно вдоль мировых линий:
t = Ashgf + B, х = Achgf+ С.
[Это утверждение нетрудно проверить. См. также задачу 2.13.] Если А, В и С —функции только от X, то выписанные выше уравнения мировых линий задают 4-скорость
и = chgf Є/ -f- shg/ сх,
не зависящую от X, и, следовательно, определяют семейство мировых линий, параллельных на гиперплоскости t = const. Если, кроме того, В я С постоянны, то 4-скорость и перпендикулярна гиперплоскости dt = О (т. е. гиперплоскости / = COnst являются гиперплоскостями одновременных событий в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета). Остается лишь правильно выбрать A (X), В и С:
t = (g-i + x)shgi,
X==Ig"1 + *) chgf-g-1.
Заметим, что для наблюдателя со стационарными координатами элемент собственного времени равен
dr = (dt2 - dx2)1** = (l+gX) di. 144
РЕШЕНИЯ
Поскольку dx не зависит только от t, то часы не останутся синхронизованными. Их можно согласовать лишь на одной гиперплоскости.
Решение 1.18. Не ограничивая общности, предположим, что зеркало расположено в плоскости ху, а фотон движется в плоскости yz. Если условиться, что «до» и «после» означают до и после отражения, то в лабораторной системе отсчета 4-импульс фотона равен
рд0 = (?, 0, ?sinO, E cosG).
Выполнив соответствующее преобразование Лоренца, перейдем в систему отсчета, связанную с зеркалом, в которой
рдо = [уЕ (1 + о cos О), 0, ?sinG, y? (» + cos О)].
После отражения 4-импульс фотона станет равным
Рпое* = [ї? О+» cosd), 0, ?sinO, -Y^ (о+ cosd)].
Производя обратное преобразование Лоренца, вернемся в лабораторную систему отсчета и получим
