Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Рпосле = {y2? [(1 + V cos G) + V (V + COS О)], О,
E sin О, угЕ [ - V (1 + V cos О) - (v + cos G)]}.
Итак, окончательный результат сводится к следующему:
rnsA - P8I, (l+o*)coeG+2p ^svnoeae- ре | —-г i+2ocos^+»a '
P _ о / l+2pcosft + ti8\ р
? после-Рпосле = ( J_J ^ до-
Решение 1.19. Пусть E и Р — энергия и импульс фотона. В системе отсчета, связанной с зеркалом (штрихованная система Отсчета), Eпад = E0Tpt Px пад — Px отр» Py пад = — Py отр- ТребуеТСЯ доказать, что в лабораторной системе отсчета G1 = O2 (фиг. 5.) Имеем
tg Gi _ (Рх/Ру)П.-Д __ PX пад i Py пад _ Px пад IgGa (Рх/~Ру)отр PX отр Py отр PX отр
(здесь мы воспользовались тем, что Pry = Py). Производя затем над компонентой Px преобразование Лоренца, получаем
tgGi _y(p;+??') пад_ і
ьь у(Р'х+№') отр •
Следовательно, в лабораторной системе отсчета, так же как и в системе отсчета, связанной с зеркалом, угол падения равен углу отражения. ГЛАВА 1
145;
Фиг. 5.
Решение 1,20. В системе покоя наблюдателя
U0=I, U1 = O, P0 = -Po = E, P1 = PJ = P,
поэтому инвариантные формулы удобнее всего проверять именно в этой системе:
а) Е = —рйиа = — P-U,
б) (Ti2 = Ei-IPli = -P0P0-PfP1 = -P-P,
в) |p| = (?2-map=[(p-u)a + p.p]'/2,
д) в системе покоя
O0 = -"0- (=?- = -! + ! =0,
«'--"'-pVo+g.
Решение 1.21. Необходимо рассмотреть три 4-вектора, 4-скорость наблюдателя (лаборатории), ила6 = (1, 0), 4-скорость ядра железа, UFe = (v, ??)> гДе Y = 0 — ? • ?)~'/!> и 4-импульс фотона, равный pY = const X (1, —га), поскольку фотон движется по направлению к наблюдателю. Заметим, что 4-импульс фотона изотропен: Pv * Py '— — 1 + (—raM—п) = 0. Из решения задачи 1.20 получаем
vHafij ^лаб — Чдаб'Ру 1
-=-=--=—.-„ _ . (Ответ)
Vnyo, fiFe -uFe-Pv YU + ? «) 146
РЕШЕНИЯ
Решение 1.22. Из формулы доплеровского смещения (задача 1.21) находим
і _vH»6* .. (I-"2)7'
і----,,->-»»
V 1 + V • п
COS ft:
О ¦ П _ (1— 1
V V
Решение 1.23. Произведем произвольный буст в направлении, лежащем в плоскости yz, после чего у фотона могут быть отличные ОТ нуля не ТОЛЬКО компонента рх, НО и компоненты Py И Pt. Чистый поворот снова придает системе координат такое положение, в котором в нуль не обращается лишь компонента рх, но ее значение отличается от первоначального. Следовательно, чтобы восстановить первоначальное значение рх, необходимо произвести буст вдоль рх в сторону либо красного, либо голубого конца спектра. Поскольку E2-Pi = 0, то E также приобретает свое первоначальное значение. Нетрудно убедиться в том, что произведение перечисленных выше преобразований не сводится к чистому повороту и, следовательно, в общем случае содержит нескомпен-сированный буст. Примером может служить произведение преобразований:
буст в
направлении
ОСИ X
у' y'v' О о-
y'v' у' О O
О О 1 О
ООО 1
1 О О (1 — о2)1''
поворот в плоскости ху
о
V
X
— V
о
(1 -D2)2
о
буст в
направлении
ОСИ у
"V О Yf 0"
О 1 0 0
yv OY0
_0 0 0 1_
X
-E- E-
E E
0 0
.0. .0.
где скорость v' выбрана так, чтобы она удовлетворяла соотношению
откуда
v' = —V2/(2-V*). ГЛАВА 1
147;
Решение 1.24. Одна инерциальная система отсчета не может двигаться рывками то вперед, то назад относительно другой инер-циальной системы отсчета. Кажущийся «парадокс» возникает из молчаливого и ошибочного допущения, что цилиндр остается жестким, когда лягушки ударяют в его днища. Это допущение не может быть верным, поскольку упругие волны, несущие к днищу сигнал о том, что лягушка ударила в другое днище, должны распространяться по стенкам цилиндра' со скоростью, меньшей скорости света. В системе отсчета, связанной со свободно падающим цилиндром, днища цилиндра под ударами лягушек прогибаются наружу. Волны напряжения распространяются от одного днища цилиндра к другому и «не подозревают» о существовании друг друга до тех пор, пока не встречаются посредине стенки цилиндра. Затем волны напряжений расходятся, и каждая волна, достигнув противоположное днище цилиндра, уничтожает действие другой волны, возвращая днище к первоначальной форме. Таким образом, цилиндр пульсирует с некоторой основной частотой. Лягушки, ударяясь время от времени о днища цилиндра, каждый раз изменяют амплитуду и фазу пульсации.
С точки зрения наблюдателя, связанной с другой свободно падающей системой отсчета (например, с точки зрения птиц, смотрящих на цилиндр из мгновенно сопутствующей системы отсчета), цилиндр движется со скоростью ?, лягушки ударяют в днища цилиндра не одновременно, пульсации днищ не согласуются по фазе, но общая картина не слишком отличается от нарисованной выше. В частности, центр цилиндра (покоящийся в связанной с цилиндром инерциальной системе отсчета) не будет двигаться рывками то вперед, то назад ни в какой другой инерциальной системе отсчета. На фиг. 6 и 7 наглядно показано, как выглядят события, о которых говорится в задаче, в двух инерциальных системах отсчета.
Решение 1.25. Выведем сначала инфинитезимальные операторы, рассматривая их действие на пространственно-временную функцию / (х, у, г, t).
