Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
h^t' *)==4mJ--=
f Utl (Obv 0')в(*' + |ї-« (Г) I-t)df = 4 mV-г=—--І-• (5)
Из соображений симметрии ясно, что в это выражение входит зависимость только от одной пространственной координаты — скажем, для определенности, х. Пусть
R{t') = \x-z{t')\ = *[x-z(t')}, (6)
где е = ± 1 для X 5Jz. Тогда
т /а \ л С "u"v6(<' + я—о dt' ,ъ
Allv (t, X) = 4m J * -—. (7)
4-скорость и находим из уравнения движения
du^/dx = — Т^иаФ,
или в нашем случае
duP/dx + г]»ги«иЦ1гга# + Arfu — Hafitr)/ 2 = 0 (8)
Легко видеть, что величина Аар для 2-й частицы, измеренная в точке нахождения 1-й частицы, используется для определения mtl для 1-й частицы, и наоборот. Далее, из соображений симметрии следует
UV = Uz=O (9)
для обеих частиц. Выпишем уравнение (8) для р. = О и ц = х, используя соотношение hm = hxx [непосредственно вытекающее из уравнения (7)]:
duVdx = ~ A00i „ («о2 - их') + h00iX и0их + hox,x и*\ (10) du*Idx = у A00, х(и°г — их') + hox, у - A00i0M0Ujf. (11)
Найдем теперь производные от Аар, вновь прибегнув к уравнению (7):
й д С u°(t')b{t' + R(t')-t)dt' f uf>6'(t' + R—t)dt'
П00, 0-™й J R (t') ~ J R
где 6' означает дифференцирование по аргументу б-функции. Пусть
f(t') = t' + R(t'),
?-1-.,(0, V = ГЛАВА 10
351
Тогда
А», о = — Ат і TT [ф 6 (/ - О] -f-df = = 4 т
¦im
'dt' d / ио dt' U
. df dt' і T df Jjf-t
1 d и»
1- ev Л' (I —et»)
(12)
Поскольку du°/dt' ^m, то в пределах точности до первого порядка по т нам нет необходимости дифференцировать и v в уравнении (12). Таким образом,
A»,.» = 4m[(1_eg2 ^Jw (13)
где индекс «запазд» означает значение, взятое в «запаздывающий» момент времени t' = t — R(t'). С другой стороны, можно написать для V (?) разложение
V(О = V (t) + (da/dt) (t' — t)+...= = v(t) + 0(m)
и аналогичное разложение для и° = (1 — v2)~l/2. Далее,
(О = в [х-г (/')] =
= e[x-z(t)-v(t)(t' -t)] + 0(m) = = e[x-z(t) + v(t)R(t')],
откуда имеем
Я(f)(l-et;) = е[л:-2(0].
Поскольку Л00, о определяется в точке местоположения другой частицы, можно записать
h во. O = 4m (гіЄГ°2)2 , (14)
где значения всех величин определяются в один и тот же момент времени t. Аналогичным образом получаем
Ao*, о— jjo A00i0, (15)
hxx, о = (-5")2^oo, о- (16)
Производные по пространственным координатам можно найти, 352
РЕШЕНИЯ
если заметить, что х входит только в R из уравнения (7). Отсюда
hoo, * = 8дя 4т
= 4/726 = 4 тг = —4те
Г u°6(t' + R-t)dt'
J R
tfi6(t' + R-t)di'
j а»б' (t'+R — t) dt' j _
-J
7 {(!-№)/?}]»
= — 4me
U0
.(1- -ev)R*
и»
1(1 —ev) Ri
(1-
U0BV
Jsana3A
Л
4 meu°
(21-?)*
Аналогично
(1 —et») 2Z?2 ізапазд
j- _ Ux т~
nOX, х — "^jf "00, X >
hxx,x = (^)*h
00, * •
(17)
(18) (19)
Отметим, что уравнения (14)-(19) удовлетворяют условию калибровочной инвариантности Anala = O. Выпишем теперь уравнения движения (10) и (11) для 1-й частицы, полагая ы° = у, ux = yv и If = ZwZ(Z1-Z2)2. Примем за 1-ю частицу положительной массы с координатой Z1 > Z2, так что е = +1, а масса, играющая роль источника в уравнениях (14)-(19), является отрицательной. Будем иметь
dyjdx = — gy2v2 (1 + V22) + 2gy2 (l+fl) Vif1 - bgy^ylvl, (20) d (YiVi)Idx = gy2 (1 + vl) - Igy2Vly! + ZgyiV2 (1 + fI) Yi^i- (21)
В такой записи уравнения для dy2/dx2 и d(y2v2)/dx2 обладают точно такими же правыми частями, что и уравнения (20) и (21), отличаясь лишь заменой V2 на V1 и наоборот (знак произведения гт не меняется). Так как V1 = V2 при t = 0, то V1 = V2 для всех t. Следовательно, разность Z1-Z1 постоянна для всех і, т. е. Z1-Z2 = S. Наконец, мы можем опустить индексы 1 и 2 в уравнениях (20) и (21) и после некоторых упрощений получить
dy/dx = gv/y, (22)
d(yv)/dx = g/y. (23)
Эти уравнения не являются независимыми, поскольку у = (1 — — у2)-'/2. Отсюда находим, что дифференциальное уравнение движения имеет вид
dv/dx = g(l-v2)2, (24)
откуда
2gx = VК1 - V2)+Arth о, (25) ГЛАВА 10
353
где т = 0 при v = 0. Далее, поскольку
dz dz dt dT V
находим
и аналогично из
получаем
Z =
dv dt dx dv g v^ »
Zt = 4-K1-0^"8-1]. (26)
3g
Z1 = Z2-I-E
I = ^^==7(1-^ (27)
g
(l-t>2)-'/2 + -f (l-u2)-^]. (28)
Уравнения (26) и (28) представляют собой параметрические уравнения траекторий, где роль параметра играет v. Заметим, что, в то время как разность координат частиц остается постоянной, расстояние между ними («собственное расстояние»), измеренное наблюдателем, движущимся вместе с одной из частиц, увеличивается приблизительно как yl. Действительно, предположим, что 1-я частица в некоторый момент времени Z1 находится в точке с координатой Z1(Z1) и обладает скоростью v. Преобразование Лоренца к локально сопутствующей инерциальной системе отсчета дает
х' = у [X-Z1 (Z1)-D(Z-Z1)],
Тогда в этих координатах траектория 2-й частицы есть гг(^) где
Z2 = Y [Z2 Cs) - Zj (Z1) - V (Za - Z1)], й = Y & - к - v {z2 (Z2) - z1 (Z1)J]. Расстояние до 2-й частицы равно — Z2(Z;> = 0). Введем величину
