Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
^OO = ^xx = Kxt
причем все остальные компоненты равны нулю. Поскольку след Aap равен нулю, то Jia^ = /іар, и приведенное выше соотношение справедливо также для компонент h «без черты».
Для фотона, движущегося в направлении оси х вдоль траектории с аффинным параметром Я,
S=-иг".»=- (SV-+1*-+**-*
Легко видеть, однако, что правая часть уравнения равна нулю
2ГV + I\o + Г«хх = - J (K0,у + hxx,y - 2hox,y) = 0,
так что d2y/dX2 = 0 и аналогично d2z/dk2 = 0. Иначе говоря, фотон будет продолжать свое движение параллельно световому лучу, и, следовательно, два узких световых луча, двигавшихся первоначально параллельно, не будут притягиваться друг к другу в первом порядке по массе-энергии каждого из них. (В действительности, как можно показать, притяжение будет отсутствовать даже в более высоких порядках.)
Решение 13.18. Из линеаризованной теории известно, что в лоренцевской калибровке
DAaP = -IenraP.
Поскольку распределение источников —а, следовательно, и поле — стационарны, это уравнение сводится к уравнению Пуассона
V^ap =-16яГар.
Чтобы вычислить hoy, нам необходимо знать Toy. Для массивной сферической конфигурации, имеющей плотность массы р и вращающейся (в положительном направлении вокруг оси г) с угловой скоростью О, имеем
T0y = /-Qp sin ft cos ф.
Заметим, что поскольку Компонента Toy пропорциональна действительной части сферической гармоники вида F11 (О, ф), то же самое будет относиться и к Iior Следовательно, можно записать 348
РЕШЕНИЯ
/Ioy=Zf (г) sin О cos ф, и уравнение Пуассона примет вид
Если распределение источников представляет собой сферическую оболочку массы M и радиуса R, то
р = М6(г-Я)/4яЯ2
и это уравнение легко интегрируется; в результате получаем функцию
/(D = -^x
J для r<R,
?) ДЛЯ r>R.
Следовательно, внутри оболочки
4Q
g0y т H0y = hoy = 3-Msin § cos ф. Из соображений симметрии следует
gfo = ?&и!ф=о = - уйМ (^j sinfl
g^ gnw 4QM
г sin О 3R '
(Яфф)2
Локально инерциальные системы отсчета внутри оболочки будут вращаться относительно удаленных инерциальных систем со скоростью to. Принцип Маха утверждает, что инерциальные свойства пространства-времени зависят от движения удаленного вещества; увлечение инерциальных систем отсчета, несомненно, является именно таким примером влияния вещества на инерциальные свойства пространства-времени. Постоянство о> подсказывает нам, что влияние удаленного вещества на инерциальные свойства должна было бы, по-видимому, описываться законом 1 /г, что означало бы в свою очередь, что инерциальные свойства определяются в основном не близлежащим веществом,— правильнее было бы учитывать влияние всей материи, содержащейся во Вселенной. (Заметим, что, если не считать нескольких идеализированных примеров, подобных только что рассмотренному, никому пока еще не удалось достичь более или менее заметных успехов в «выводе» принципа Маха из уравнений полуобщей теории относительности.)
Решение 13.19. Уравнения движения Tvvsv = O явно калибро-вочно инвариантны; в лоренцевской калибровке, однако (см. за« ГЛАВА 10
349
дачу 13.15), справедливо соотношение
7W.V = — (Ібя)-1 ? A*v.v = О,
а не T1tIVlv = O. T^;v и TliviV отличаются на величину порядка ТГ. Поскольку же как Т, так и Г порядка Aap, то несовпадающие члены будут второго порядка по отклонению метрики от плоской.
Решение 13.20. Согласно принципу эквивалентности, ускорение тела не зависит от величины его массы, а зависит лишь от других масс, с которыми оно взаимодействует через гравитационное поле. Отсюда следует, что тело с положительной массой притягивает и положительные, и отрицательные массы, а тело с отрицательной массой отталкивает как те, так и другие.
Таким • образом, в нашем случае ускорение отрицательной массы направлено к положительной массе и равно GMIi2. (Поскольку мы работаем в ньютоновском пределе.) Ускорение положительной массы совпадает с ускорением отрицательной массы как по величине, так и по направлению: обе массы как бы стараются угнаться друг за другом.
Как только мы начинаем рассматривать частицы в движении, проблема усложняется, ибо каждая частица испытывает запаздывающее воздействие поля другой частицы.
Так как по условию задачи M ^ г, мы будем искать решение с помощью линеаризованной теории, применение которой будет оправданно до тех пор, пока расстояние между частицами, измеренное в сопутствующей системе, связанной с любой из них, будет намного больше М. Уравнение
? V--16 JtTtiv (1)
обладает решением в виде „запаздывающего" интеграла:
V('> ^) = 4\10^b(t' + \x-x'\-t)d4dt'. (2)
В линеаризованной теории справедлив принцип суперпозиции для Ttiv (т. е. и для Atlv) каждой частицы. Для частицы массы т, движущейся вдоль мировой линии
^ = г^ (т), (3)
имеем
Ttiv (t, j?) = m $ UtiUvS4 (х — Z (т)) dx = /MUtiUvS3 (х — г (t))/u°, (4) где при интегрировании мы использовали замену dx = dt/u°. 350
РЕШЕНИЯ
Подставляя формулу (4) в (2), получаем
г , f HtlBvfieI*'(Н] в (''+I*-*'I-O Л'Л'
