Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 12.19. Условие баланса сил дает GmN/r2 = mNo)2(~ г 334
РЕШЕНИЯ
Согласно правилам квантования Бора, радиусы орбит должны удовлетворять условию
2та> ^y rj = nh.
Из этих двух уравнений находим выражение для радиуса
r = 2n2n2/Gm%.
Для низшего энергетического уровня, соответствующего я = 1, значение радиуса равно
г = 2%2[Gm% =6-1024 см ^ 6-IO6 св. лет! ГЛАВА 12
Решение 13.1. Согласно тождествам Бианки, дивергенция тензора Эйнштейна
P\iv 2~ S\i.vP
равна нулю.
Поэтому, беря дивергенцию от обеих частей нашего обобщенного уравнения поля, получаем
С другой стороны, если сначала свернуть полевые уравнения, а затем продифференцировать их, то найдем
(1 — 4а)/?>(1 = 8лГ,ц,
откуда следует, что уравнения движения должны иметь вид
TiIv-, V = ^T1 ц,
где
1
~2 а X==-.-J-.
1—4«
Для жидкости с плотностью р и пренебрежимо малыми давлениями это уравнение в ньютоновском пределе при }Х = 0 можно записать следующим образом:
где и —скорость потока жидкости. Если х не равно нулю (т. е.
а Ф yj, то последнее уравнение не совпадает с ньютоновским
уравнением непрерывности — иначе говоря, уже в ньютоновском приближении мы сталкиваемся с нарушением закона сохранения массы.
Решение 13.2. Равенство нулю тензора Вейля позволяет нам записать метрику в конформно-плоском виде: 336
РЕШЕНИЯ
где в ньютоновском пределе ф 1 (почти плоское пространство-время). Тогда (см. задачу 9.19) будем иметь
R^- 6уУ
Для нерелятивистских значений компонент тензора энергии-импульса
р,
и уравнения поля приобретают вид
— 6ф, Ctp1Iap = иГ = —хр.
В ньютоновском пределе производные по времени малы по сравнению с производными по пространственным координата^ (в системе единиц, где с = 1), так что мы можем записать
6ф, Ijb1' = хр.
Для к = 24л это будет обычное уравнение ньютоновской теории для ньютоновского гравитационного потенциала ф. Из решения задачи 12.11 следует, что ньютоновские траектории являются геодезическими в метрике с goo — (1 +2ф). Следовательно, в ньютоновском пределе предлагаемая теория согласуется с ньютоновской, а ф играет роль ньютоновского потенциала.
Для метрики массивного объекта, например Солнца, функция ф должна убывать до нуля вдали от объекта, где пространство-время становится плоским. Чтобы заметить, что в данной теории отсутствует отклонение световых лучей, достаточно (см. задачу 9.18) обратить внимание на тот факт, что изотропные геодезические для метрики g[>uv = e2f%v совпадают с изотропными геодезическими для плоского пространства fenv = lHiiv), которые, как известно, не отклоняются в поле массивного объекта. Таким образом, если сравнить в удаленных, асимптотически-плоских областях пространства направления движения фотона до и после его взаимодействия с массивным объектом, отклонения наблюдаться не будет.
Вблизи земной поверхности рассматриваемая метрика имеет вид ds2 = е2'( <*> (— dt2 + dx2 + dy2 + dz2),
где координата z соответствует высоте над поверхностью Земли. Для получения правильного значения ускорения свободного падения частиц необходимо, чтобы ф^ — gz. Из уравнения геодезической находим, что энергия фотона, движущегося вертикально вверх, меняется по закону
^ = -TVp0=-?, ,P0. Следовательно, фотон теряет энергию с той же скоростью, что и ГЛАВА 10
337
частица вещества, и предлагаемая теория согласуется с результатами экспериментов Паунда — Ребки, как, впрочем, оно и должно быть для любой теории, основанной на принципе движения по геодезическим.
Решение 13.3. Для статического случая уравнение скаляра поля в теории Бранса —Дикке имеет вид
п 8яТ ...
V2<P = (3+250- (1)
Далее, для сферической оболочки массы M и радиуса P
T — t-ЩїР. »
так что выражения для потенциала ср внутри и вне оболочки суть соответственно
ФІ = Фъ Г< R, (За)
= + Г>Я, (36)
где ф! и фоо — постоянные. Сшивая фі и фп при г = R, получаем
і 2 М /л\
фі = ф~+зяIaSTT W
Наконец, из теории Бранса — Дикке нам известно также, как выражается через ф локальная гравитационная «постоянная» [см. Вейнберг, уравнение (9.9.11)]:
о=И4±?). <5>
Следовательно,
_ 4 + 2ш 1
фоо_~ 3 + 2ш G00'
1 \ 3+2ш / ^ 3+2®/ L (3+ 2to)J
G1 = Gm[l - G°f (2^м)]- (6)
и окончательно
Это решение справедливо с точностью лишь до членов низшего порядка по M/R, и не только из-за членов, которыми мы пренебрегли, но и потому, что в более высоком порядке нужно было бы учитывать изменения в метрике g^v, обусловленные присутствием массы, и использовать в уравнении (1) вместо «плоского» лапласиана, оператор Лапласа в искривленном пространстве. 338
РЕШЕНИЯ
Решение 13.4. Если не должно существовать выделенной системы отсчета, связанной с вакуумом, то тензор энергии-импульса вакуума должен иметь один и тот же вид в любой лоренцевской системе отсчета. Тензор Tiuv выглядит одинаково в любой лоренцевской системе отсчета, так что тензор энергии-импульса вида PeaK1Inv (или, в общих координатах, Рванём) не выделяет ни одну систему. [Единственность можно показать следующим образом: если не существует выделенной системы отсчета, то нет и выделенных векторов и, следовательно, нет выделенных собственных векторов. Это возможно лишь тогда, когда все векторы являются собственными, но если StlvKv = ZCKli для всех К, то это значит, что SlIv должно быть пропорционально
