Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения поля, включающие в качестве источников как тензор материи, так и тензор энергии-импульса вакуума, имеют вид
^v = 8л (т^терии H- ^vpbsk).
Если сравнить их с полевыми уравнениями, содержащими космологический член
/Г - Y + = 8Aep„H,
то легко видеть, что мы можем отождествить космологическую постоянную Л с плоіностью энергии вакуума, полагая А = 8ярнак.
Если бы вакуум состоял из частиц с массой т, среднее расстояние между которыми равнялось бы Х^Н/тс, то его плотность энергии была бы порядка т (тс/H)3. Соответствующие значения порядка IO4 г/см3 для электронов и IO17 г/см8 для протонов; оба они несообразно велики.
Если считать, что энергия вакуума обусловлена гравитационным взаимодействием близлежащих частиц (соответствующие энергии
имеют порядок величины Gj,то эквивалентная плотность массы
должна равняться
с2 (Gtn2JX)/X3 = Gmec2/n*,
что дает порядок IO 22 г/см3 для протонов и 10 41 г/см3 для электронов. Средняя плотность вещества в нашей Галактике составляет Ю-23 г/см3, так что наличие плотности «протонного» вакуума, равной IO"22 г/см3, привело бы к заметным последствиям вплоть до влияния на динамику Галактики. С другой стороны, плотность «электронного» вакуума, равная Ю-41 г/см3, мала даже по сравнению с космологическими плотностями (Ю-31 г/см8), так что она не проявилась бы ни в каких измеримых эффектах.
Все эти соображения нужно рассматривать лишь как наводящие и в определенной степени изобретенные специально для дан- ГЛАВА 10
339
ного случая. Из соображений размерности следует, что плотность энергии вакуума должна иметь вид
OT4C3 !GtrPy
ft3 \ сЛ ) '
При этом для п = 1 мы получаем довольно-таки разумные с некоторой точки зрения значения плотности; рассуждение Зельдовича как раз и представляет собой попытку дать физическое обоснование выбору п = 1.
Решение 13.5. Если свернуть уравнения поля Эйнштейна, мы получим соотношение между следом Tilv и скалярной кривизной Риччи:
# = —8пГ/.
В локально лоренцевской системе отсчета, где тензор Tv? диаго-нален,
т/ = — Р + Рх + Ру + Рг,
здесь Рх, ру, Pz — главные напряжения (численно равные давлению). Для всех известных уравнений состояния р^Зр, поэтому скалярная кривизна Риччи R должна быть положительно определенной, а тензор Гц1* — отрицательно определенным.
След тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю (см. задачу 4.16), так что если тензор энергии-импульса в данном объеме пространства-времени имеет чисто' электромагнитную природу, то R = O.
Решение 13.6. Зная компоненты T0P в своей собственной ортонормированной системе, наш наблюдатель может найти для этого тензора четыре собственных значения и четыре собственных вектора:
TJWt = Wa. (1)
Нам известно, что один из собственных векторов времениподобен. Нормируем его таким образом, чтобы WaWa = —1. Если его компоненты равны Wa = (у, у vi), выполним преобразование Лоренца со скоростью v> и перейдем к системе отсчета, покоящейся относительно W. В этой системе Wa =(l, O) и уравнение (1) дает
T 0Л0Л__1 =0 и T1Oft=O
* ""времеиипод-г " -1 и •
Квадратная матрица 3-го порядка Tfjc может быть диагонализо-вана с помощью пространственного поворота, и из уравнения (1) видно, что ее диагональные элементы как раз и представляют собой остальные собственные значения I1 = р{, где і = 1, 2, 3. Пусть теперь и будет некоторой произвольной 4-скоростыо с ком- 340
РЕШЕНИЯ
понентами иа = (у, у, Vі) в системе отсчета наблюдателя, для которого тензор Ta^ диагонален. «Слабое энергетическое условие» требует, чтобы TlapUaUp^O, так что
P + V21Pi + "Ip2 + Olp3 Ss 0, (2)
где скорости ю> произвольны, а V2 1. Необходимое и достаточное условие справедливости неравенства (2) гласит:
P Ss 0, р + р,3г0,
что может проверить наш наблюдатель после того, как он решил уравнение (1). Случай, когда тензор Ta^ не имеет ни одного времениподобного собственного вектора, разобран в книге [6], стр. 102 и далее.
Решение 13.7. Для п = 0 указанное утверждение сводится к U-Us^O и является тривиальным. Для л=1 оно гласит: и - T - и 0 для всех времениподобных и; это как раз и есть слабое энергетическое условие. Для п = 2 мы имеем ус ловие (и • Т) • -(и-Т)<0, т. е. вектор и-Т не должен быть пространственно-подобным. Однако для наблюдателя с 4-скоростью и имеем
и-Т = (—р, [плотность потока энергии]')
и, согласно условию энергодоминантности,
I р I > I плотности потока энергии |,
так что вектор и-Т действительно не является пространственно-подобным.
Рассмотрим теперь произвольное число п и утверждение
(—l)"u-T-T---T-u<0.
Поскольку вектор U-T не является пространственноподобным, это утверждение для любого числа п эквивалентно аналогичному утверждению для п — 2. Но мы показали, что из условия энергодоминантности вытекает справедливость этой формулы для п = 1 и п = 2, т. е. из условия энергодоминантности вытекает справедливость ее для любого п. Из сказанного немедленно следует справедливость и обратного утверждения: любой тензор энергии-импульса, для которого справедлива рассматриваемая формула при п= 1 и п = 2, удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в условии энергодоминантности.
