Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Э00, і 4Ф, і, Sii, * я« — 4ФФ, 0.
Если далее сохранить только члены вида ^00,/, то в выражении для №л уцелеют только подчеркнутые члены и мы будем иметь
ррл-л = (16л)1 ^0, і +1 ^"O1 т].
Отсюда, если положить и ^00, t = 4Ф, легко можно
получить
Рл-л=(ібя)-1 [{?00, = 6m,to,Jf
*°'л-л = 0,
*Ул_л = (Ібя)-1^ (26'W» - ^00,m] =
= (4я)-і (Ф,,Ф,/ - і- Ьі ,Ф. тФ-т).
Обратите внимание, что пространственные компоненты t'iл-л совпадают с компонентами тензора напряжений из задачи 12.8.
Решение 13.12. Значение скаляра в некоторой заданной точке не изменяется при калибровочном преобразовании, так что
ф" (X" (P)) = ф' (X' (P)) = ф' (х- (P) -1 (P)),
ф"(х")^ф'(х")-Г<}).а. 344
РЕШЕНИЯ
Для векторного поля имеем
Vl = к; (X') = (8V - ц) (Vv (X") - П. aS°) ~ (х")-KvSv, ц-IVaSa-Аналогично для тензорного поля получаем
Т" — д д (*')? T' (v'\_
^v ^x > — д д (*т af^ >~~
= (6% - Iа, ц) (6PV - S?, v) (Пр (X") - Taf,, „Г) ^
T1^iv — 7V?S?. V — И — ^HV, а§°.
Заметим, что
Sw V == rf; V = ^o V + ItT0av) = g^, V + S0Tllav
и что
S(ці V) = go (ц|а, V) + S0t (у gp.v. а) •
Тогда для метрического тензора получим
glv (X") = ^v (х ") - ^v, aSa - 2ga (^Scr1 V) = ^v (X") - 2|(ц. v) = — tIhv + hv-v (х") — 2S(M,; V) и окончательно
Kv (х ) = Ziltv (х') — 2|(м,; V).
Поскольку в первом порядке метрика является метрикой Минковского, можно считать, что
S(n;v) = S(n.v)+0(S/l).
Решение 13.13. Поскольку символы Кристоффеля
F<*n? = ~2 (Лар,ц + Лац, ? —V. а)
имеют порядок малости h, в формуле, выражающей компоненты тензора Римана через Г, можно пренебречь членами, содержащими произведения символов Кристоффеля. В результате будем иметь
PaiIfiv ga), ( rv, ? — v) я«2Га(1 [V) ?] = (ha [Vi ?], n — Лц [V, ?], a),
что и требовалось доказать.
При калибровочном преобразовании Iiliv^-Iiliv- 2?(ц, v) и
^on?v#an?v — Sa[, V, ?], ц + іц[, v, ?], a — Sv[,a, p], ц + Sv[, ц, ?], a-
Поскольку частные производные коммутируют, добавочные члены взаимно сокращаются и вид тензора Римана остается неизменным. ГЛАВА 10
345
Решение 13.14. При калибровочном преобразовании (см: задачу 13.12) возмущения метрики принимают следующий вид:
A?? = /la? — 2? (a,?).
Если свернуть это равенство, то легко заметить, что при калибровочном преобразовании след (A == haa = rfKha)) изменяется по формуле
A'= A- 2?%,
где Sa = rf^- Тогда закон преобразования для Aa? имеет вид
= Aip -yW*' = Ziap - 2g(a, ?) --Iriap Ф - 2|°, о)=
=Aa? — Sa, ? — I?, a + Tla?i0, ст
И
A^? = «?, X = Ax?' ? 7 ia. ?' P - i?.«' ? + Sa' a= =Aa?. э - Sa, ?. P = Aa?. э - ? Sa.
Теперь нам нужно только так выбрать четыре функции Sa. чтобы они удовлетворяли обычному волновому уравнению Qia = == Aa?.р-
Такое решение всегда можно найти (например, можно взять решение с запаздывающими потенциалами из классической теории электромагнитных волн), но оно, разумеется, не единственное: мы всегда можем добавить к Sa любое решение уравнения Qia = O.
Решение 13.15. В задаче 13.13 мы нашли выражение для линеаризованного тензора Римана; если свернуть его, то можно получить линеаризованный тензор Риччи
P\iv = у Ф\а'а, ц "Ь Ajia'а, v D ^pv Ai nv)>
где A = haa. В лоренцевской калибровке из Aa?,p = 0 следует
Aa?' ? = yA, a,
так что
= ~2 Ф. HV Cl! Anv — A1 ^v) = 2" СИ ^IJ-Vi
и, сворачивая еще раз, получаем R = —jQА. Следовательно, уравнения поля будут иметь вид
RiIV - ^gnvR = - у (?¦aHV - yTlHV? а) = - у DAtiv, откуда и находим
DV = -ISnTlIv. 346
РЕШЕНИЯ
Решение /3./6. Чтобы V удовлетворяло как условию ло-ренцевской калибровки (см. задачу 13.14), так и линеаризованным уравнениям поля, мы должны иметь
O = Vv = Re [^MtnAjc"],
0 = Vv1 (j-° = Re [- kak° A»Jk*x\
Следовательно, 4-вектор к должен быть изотропным и ортогональным А.
В задаче 13.14 приведен закон калибровочного преобразования от V к V=
= V*---j- T|nv|CT,CT'
Ясно, что калибровочное преобразование должно быть таким, чтобы ? имело вид плоской волны е'каХ . Положим
Sli=-ICvSk**,
тогда получим
AiIv = (Сцку -f- CvIiix) -)- TijxvCaZja.
Если свернуть это уравнение с то найдем
AXJP = — +kvC*ka = 0,
так что А остается ортогональным к. Теперь мы можем применить к нашему уравнению условие поперечно-бесследовой калибровки (Л")/ = 0 и Alt0 = O и в результате получить
0 = HV + 2C-k,
0 = Afllo- (Cokil + CtJt0) + ЧцоС • к.
Из этих двух уравнений можно найти одно:
0 = Лц0 — [CJill + CiJi о) —2" rIno^ Полагая [і = 0, будем иметь
C0 = (2k,)'1 (Л;0 + у(Л')/)-
пространственные компоненты после этого легко получить из соотношения
О = At0-(Cok,+ Ctk0).
Решение 13.17. Для светового луча, движущегося в направлении оси X, ненулевые компоненты їензора энергии-импульса суть T00 = Txx = — Tox- Из вида линеаризованных уравнений поля
? V = Vvf-V = - 16лТаР ГЛАВА 10
347
и из того факта, что все компоненты Aap представляют собой интегралы типа запаздывающих потенциалов, где под знаком интеграла стоит функция источника, следует, что между решениями должно существовать такое же соотношение, как и между источниками:
