Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 13.8. Да, возможно. Возьмем метрику ^v, такую, что g?V = Tiliv для t<0 (ясно, что это пустое пространство), а для t^s0 пусть g^ — произвольно выбранные функции. Единственное требование к этим произвольным функциям, чтобы они были ГЛАВА 13
841
дважды дифференцируемы и гладко сшивались с соответствующими значениями метрики пустого пространства на гиперповерхности ? = Теперь для этой метрики можно вычислить тензор Риччи и его свертку (скалярную кривизну), а затем ввести по определению тензор
Очевидно, что этот тензор симметричен, а в силу свернутых тождеств Бианки дивергенция его равна нулю. Если пространство-время будет заполнено материей, распределение которой описывается этим тензором, то метрика ^v выбранного нами вида будет решением уравнений поля Эйнштейна. (Необходимо заметить, однако, что для того, чтобы решение было физически осмысленным, тензор Tjiv должен подчиняться некоторым дальнейшим ограничениям: например, плотность энергии должна быть всюду неотрицательной. Это требование, вообще говоря, не обязательно удовлетворяется в рамках рассмотренной нами процедуры.)
Решение 13.9. Используем уравнение Киллинга ?(а; р> = 0 и определение статической метрики с помощью условия «стационарности и ортогональности» вектора Киллинга \ к семейству гиперповерхностей (см. задачу 10.8). Получим
где мы воспользовались результатом ар = Pyfknily (из задачи 10.7). Первый член в приведенном выше выражении равен нулю из соображений симметрии, а оставшиеся члены представляют собой компоненты тензора Риччи; таким образом, мы имеем
Последний член равен нулю тождественно, откуда следует, что и[а?р] = 0, т. е. и параллельно
Менее строгое доказательство получается при использовании эквивалентного определения статической метрики с помощью условия «стационарности и обратимости времени» (см. задачу 10.8). В этом случае мы немедленно замечаем: если и не параллельно 1,
0 = &а;РЫ;7 =
= у (??; ?Sy + Ir. «S? + S?; vS<x): 7 =
0 = ^ [<x??] = 8я?* (74 [e - 4 gh [ат) Sw =
= 8 Jig* ((P + P) UhU[a + 4 (p - p) в* [a) i?]. 342
РЕШЕНИЯ
то T0' Ф 0 в «системе отсчета с обратимым временем». Отсюда, однако, следует, что G01 Ф 0, а это „ несовместимо с условием инвариантности метрики относительно обращения времени.
Решение 13.10. Из тождеств Бианки Gv^sO имеем .JL GV0 = _ QVt l _ Gwrvail - GvaГ%..
Члены в правой части этого тождества не могут содержать третьих производных от метрики по времени, и, таким образом, в Gv0 не могут входить вторые производные по времени. Отсюда следует, что четыре уравнения Gv0 = 8nTv0 играют роль уравнений для начальных данных, или, иначе говоря, связей, налагаемых на данные, задаваемые на гиперповерхности Коши, тогда как Gii = 8пТ1' являются динамическими уравнениями.
Исследование упомянутых выше связей, налагаемых на начальные данные, затруднено ввиду произвола в метрике, связанного с произвольностью выбора координатной системы. Чтобы устранить эту запутанность, мы можем прежде всего выбрать четыре координатных условия, налагаемых на метрику; удобно, например, выбрать в качестве исходных нормальные гауссовы координаты, соответствующие goo = — 1 и g0i = 0. В результате мы будем иметь для шести полевых переменных gy шесть динамических уравнений Gii = 8пТ''\ которые можно разрешить относительно d^gij/dt2, а также четыре уравнения для начальных данных Gv0 = 8nTv0, приводящие к соотношениям между начальными данными gij и dgtj/dt на начальной гиперповерхности.
Теперь, чтобы избавиться от членов вида d2gy/dt2, можно продифференцировать по времени четыре уравнения для начальных данных и затем воспользоваться динамическими уравнениями. В результате мы получим четыре новых соотношения между начальными данными. [Легко видеть, что эти новые соотношения должны отличаться от четырех прежних, поскольку dGv0/d* — = 8ядТ*°/ді, а мы можем выбрать конкретный вид dTv0/dt независимо от любых учитывавшихся ранее связей.]
Итак, мы имеем теперь восемь уравнений, связывающих двенадцать функций gy и dg{j/dt на начальной гиперповерхности Коши. Следовательно, на этой гиперповерхности мы можем еще выбрать независимо четыре произвольные функции.
Если рассматривать четыре произвольные функции как начальные данные для двух полевых переменных и их производных по времени на гиперповерхности Коши, тогда Общая картина эволюции во времени гравитационного поля будет описываться динамикой двух полей. Именно по этой причине обычно говорят, что гравитационное поле обладает двумя динамическими степенями свободы. ГЛАВА 10
343
Решение 13.11. Компоненты псевдотензора Ландау — Лифшица задаются с помощью довольно-таки устрашающего выражения:
(- g) f*n ~ л = (16я)-і „ - 3>а\ ? +
+ у Sa4Wxv. P^pii. V - X --g?Wv, P-^tU+
+ gK»gvp$a\ P +1 (2tfbgto - X
X (2gypgcrt - gapgvx) ^vtl ^pq ц] ,
ГДЄ 3>a?=s(—
Для рассматриваемой нами метрики
Э00 = — (1 - 2Ф)3/2 (1 + 2Ф)-1/2, = (1 - 4Ф2)1/26'/, $ы = 0.
Отметим, что все члены в выражении для ^аРл-л включают произведение двух производных от и поэтому в первом неисчезаю-щем порядке по Ф выражение для № будет содержать произведения первых производных от Ф. Следовательно, при вычислении производных от 5 нам нужно удержать только члены, пропорциональные Ф і:
