Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
q = q0$ dsx \dx (— u • ил-с- ° )s б4 [x0 - Z0 (т)] = = q0 J dH dt (- u • ил° У б4 [ха - Za (т)].
— U ¦ ил с-°
Интегрируя б-функцию с учетом соотношений
и-аЛС0- = —Y и dx/dt = 1/7, где у —фактор Лоренца, получаем
9 = Ws-1 (l +iY^f2) Для у<с.
Далее, для идеального газа имеем
{Vі) = 3kT/m0.
Таким образом, суммируя заряды всех частиц газа, находим
и, сравнивая это выражение с температурной зависимостью, приведенной в условии задачи, приходим к выводу, что S = 5.
Решение 12.16. Предположим противное. Пусть существует такое поле со спином 2, отличное от гравитационного. Поскольку оно обладает квантами с нулевой массой покоя, что соответствует бесконечному радиусу действия, уравнения поля должны допускать в качестве решения слабые плоские волны. Далее, так как это поле обладает спином 2, ему должен быть сопоставлен симметричный «зарядовый» тензор Jtiv со следом, равным нулю. Более того, для слабых полей и малых скоростей взаимодействие между «заряженными» частицами, размеры которых значительно меньше длины волны, должно описываться в основном через соответствующую каждой частице компоненту J00 (т. е. через «кулонов-ский» предел).
Рассмотрим теперь плоскую волну, падающую на две частицы с зарядами J00 = qx и /00 = <72. первоначально находящиеся в одной и той же точке. Под воздействием синусоидальной плоской волны с определенной линейной поляризацией частицы будут участвовать в линейном колебательном (синусоидальном) движении, амплитуда которого прямо пропорциональна заряду и обратно пропорциональна массе частицы. Следовательно, в некоторый момент времени мы можем ввести для нашего поля вектор поляризации (аналог напряженности электрического поля Е), определяя его как
п 332
РЕШЕНИЯ
Очевидно, что при этом его величина не зависит от числовых значений qlt q2, ти тг. Но здесь-то и кроется противоречие! Действительно, так как наше поле обладает спином 2, то при повороте на 180° состояние поляризации должно оставаться неизменным, в то время как при повороте на 180° вектор V переходит в —V, а это значит K = O. В чем же дело? По-видимому, в нашем предположении, что поле различным образом действует на разные частицы: теперь мы видим, что у нас нет иного выхода, как только положить X1 = X2 для всех зарядов и масс. Это, однако, эквивалентно утверждению о постоянстве отношения заряда к массе для всех частиц: q/m = const; подходящим выбором единиц мы всегда можем добиться, чтобы q = m. Следовательно, в предельном случае слабых полей, или, что то же самое, в приближении плоских волн, мы получаем J00 = T00, т. е. J00 равно компоненте тензора энергии-импульса, соответствующей плотности массы-энергии. Отсюда в силу требования лоренц-инвариантности мы немедленно получаем J^ = Tiiv (мы не имеем права ввести, например, скаляр Vkv,, так как он не является геометрическим объектом, сопоставляемым спину 2).
Как мы показали, наше «произвольное» поле со спнном 2 ассоциируется с Tliv. Следовательно, это самое обычное тяготение (или, если угодно, то самое, чем бы оно ни было, что проявляет себя во всех наших экспериментах как тяготение). (Мы нигде не утверждали, что таким образом мы приходим к общей теории относительности.) Фейнман обратил внимание на то, что в наши рассуждения решающим образом входит предположение о «точечной» частице, не обладающей собственным вектором поляризации. Это значит, что можно было бы в принципе подобрать такое удовлетворяющее приведенным выше условиям поле, которое действовало бы «негравитационным» образом на отдельные частицы, обладающие спином; при этом, однако, для неполяризованной материальной среды результирующая сила воздействия равнялась бы нулю.
Решение 12.17. В системе единиц СГС имеем
с = 2,998 -IO10 см/с;
с2 = 8,998 IO20 эрг/г;
Glc2 = 0,7425 -IO"28 см/г;
G1/. = 2,582-10 4 эл.-стат. ед./г.
(Значение G4i следует из того факта, что в законах Кулона или Ньютона сила равна е2/г2 или Gm2Ir2.) Следовательно, в гравитационных единицах искомые значения равны: ГЛАВА 10
333
а) * = Ia^Sr--] «» 2.6 H ¦ 1
б» :'-38' -10""см;
в) — = -І- Г (эл.-стат. ед.) 1 ^ 2 042 • IO21' m G4'm L« (эл.-стат. ед./г) J ' '
Г) Mq = -^[(г)(см/г)]^ 1,48- IO5 см;
д) ^шштш^ °7-10-2'
е) 300К = 300К [(К) (7зГрУг)(СМ/Г)] ~ 3,42 • 10~63 см;
ж) 1 год = (3,21 • 10'-с) р^] = 9,460-IO17 см;
1В Ц 1 -!EI-WJ
\299,8 эл.-стат. ед. j \с2/ 1 G4, [(эрг/эл.-стат. ед.) (эл.-стат. ед./г)"] Qeo іП-28
Решение 12.18.
L* = (ftG/c*)'/. = 1,616 • IO-33 см, Т* = (AG/c5)'/. = 5,391 • IO-44 с, М* = (HcfG)1 /• =2,177-10-5 г.
На существование этих безразмерных комбинаций первым обратил внимание Планк —сразу же после того, как он ввел в употребление свою квантовую постоянную, — и теперь они носят название планковских длины, массы и времени. Эти комбинации определяются единственным образом с точностью до множителей порядка единицы (например, можно вместо H использовать h), так как, согласно теории размерностей, существует один и только один способ установить соответствие между тремя разномерными величинами и тремя величинами с заранее выбранной размерностью (иными словами, других «свободных» безразмерных комбинаций не существует).
