Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
простой волны сохраняются, когда физические характеристики жидкости и
поперечное сечение изменяются постепенно в масштабе длин импульса, а
именно распространение происходит только в одном направлении в том
смысле, что вдоль кривой С_ распространяется нулевой сигнал и локальные
соотношения между различными переменными в простой волне остаются
неизменными. Заметим, что к ним относится выражение для скорости сигнала
и~\-с, т. е. значение dxidt вдоль одной из таких кривых С+, которые
переносят сам импульс. Например, для совершенного газа с постоянной
удельной теплоемкостью, заключенного в твердую трубу, вдоль которой
меняются поперечное сечение и, возможно, невозмущенная температура газа
(так что невозмущенная скорость звука с (0, х) = с0 (х) зависит от
расстояния), из (240) можно вывести
(240)
о
2 13. Нелинейное распространение
231
результат (178), правда в слегка измененной форме:
1 1 с = с0 (х) +2-(у - 1) К, что дает и + с = с0 (х) (у + 1) и.
(241)
Те же самые уравнения, но с у = 2, как в (183), будут справедливыми для
открытых каналов шириной Ъ (х), постепенно меняющейся, но не зависящей от
подъема уровня воды, если с0 (х) есть невозмущенная волновая скорость,
равная [gA0(x)/b (х)]У\ а А о (х) - постепенно меняющееся невозмущенное
поперечное сечение воды.
Результаты анализа до этого места, основанные на рассмотрении изменений
вдоль кривых С_, справедливы для импульса произвольной амплитуды при
условии, что поперечное сечение и физические характеристики жидкости
меняются постепенно в масштабе длины импульса. Однако рассмотрение
изменений вдоль кривых С+ требует ограничения сравнительно слабыми
импульсами, если мы хотим получить метод, достаточно простой для введения
в теорию нелинейных эффектов. Заметим, что кривая С + , в отличие от
любой кривой С_, остается внутри импульса на протяжении больших
расстояний, так что изменениями в поперечном сечении и физических
характеристиках жидкости пренебречь нельзя. Отметим также, что хотя для
от-относительно слабого импульса отклонения скорости сигнала ¦и + с от
предсказываемой линейной теорией скорости волны с0 (х) могут быть лишь
незначительными (уравнение (241)), воздействие искажений, вызванных
такими малыми отклонениями при распространении на большие расстояния,
будет, однако, как показано в разд. 2.9, весьма существенным. Далее,
проанализируем противоположные влияния искажающих волновой профиль
постепенных изменений физических характеристик жидкости и поперечного
сечения, с одной стороны, и относительно слабых нелинейных эффектов - с
другой.
Идея о том, что вдоль кривой С+ (следуя за сигналом, движущимся
относительно локальной скорости жидкости и с волновой скорстью с)
переменные должны локально изменяться в соответствии с линейной теорией,
теперь будет использована с учетом того, что распространение, как уже
было установлено, происходит только в одном направлении (в положительном
направлении оси х). Соответствующее изменение избыточного давления в
рамках линейной теории дается уравнением (91): в неизменном виде
распространяется вперед не ре само по себе, а величина реУУ2, где
проводимость Y постепенно изменяется в зависимости от х.
232
2. Одномерные волны в жидкостях
Для относительно слабых волн представляется вполне оправданным подобное
использование приблизительных выводов линейной теории о влиянии
постепенных изменений поперечного сечения и физических характеристик
жидкости. Двусмысленность здесь отсутствует, т. е. для малых амплитуд
зависимость проводимости Y от расстояния вдоль трубы или канала можно
считать заданной формулой ^4 0(лс)/[р0(дг)с0(л:)1^ как при отсутствии
возмущений. Тогда распределение избыточного давления подчиняется правилу
ре[А0(х)!{ро^Со^)]1/2 = const вдоль dx = {и + c)dt, (242)
где и связано с ре уравнением (240); это заставляет такое распределение
претерпевать на больших расстояниях значительные изменения, обусловленные
как искажением волнового профиля, так и влиянием изменения проводимости;
но любые модификации, связанные с попытками учета "возмущенного" значения
Y, вызовут лишь сравнительно малые изменения этого распределения.
Правило (242), применимость которого эти рассуждения делают
правдоподобной, будет подвергнуто дальнейшей проверке на состоятельность
в следующем разделе (уравнения (263)-(269)); математически оно может быть
потверждено только как предельный случай значительно более сложной
теории, здесь не рассматриваемой.
Довольно просто исследовать, как повлияет на сдвиг волнового профиля,
рассмотренный в разд. 2.9 при условиях постоянства поперечного сечения и
физических характеристик жидкости, член в квадратных скобках в уравнении
(242). Во-первых, нужно решить, следует ли описывать искажения во времени
пространственного волнового профиля, рассмотренные в разд. 2.9 с помощью
переменных v (уравнение (184)) и X = х - сД, или описывать искажения (в
зависимости от расстояния) временного волнового профиля, что было сделано
