Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
составляет резкий контраст соответствующим уравнениям для ударной волны
(197), которые зависят от двух отношений, а именно от отношения давлений
pjpo и отношения плотностей pi/p0, взаимосвязь которых определяется
законом Гюгонио, выводимым из уравнения энергии. Для длинных волн в
открытых каналах одно и то же отношение AJAq определяет как скорость
приобретения количества движения (подобно pjp 0), так и равенство потоков
массы (подобно Pi/p0)• Любая информация, которую мы могли бы получить в
дальнейшем о переходе механической энергии в тепло на разрыве, не будет
иметь отношения к определению U ж щ через А\1А0 с помощью рассмотрения
массы и количества движения, на которые совершенно не влияет возникающее
в результате пренебрежимо малое возрастание температуры.
Разрывную волну, движущуюся вдоль открытого каналаг в соответствии с
уравнениями (227) обычно называют "гидравлическим прыжком" с
интенсивностью
Р - (А\ - Л0)Мо,
2.12. Гидравлические прыжки
221
с помощью которой эти уравнения запишутся так:
uic0=( 1 +4 p)1/2(i+p)1/2,
Wi/c0 = p (l +р)1/2(1 + Р)"1/2; (228)
здесь с0 - невозмущенная скорость волны, равная {gAjb)l№. Эти отношения
вместе с
Фо = (1 + р)1'2 (229)
изображены как функции р на рис. 47. Заметим, что гидравлический прыжок с
интенсивностью, превосходящей 2,21, ускоряет воду до
"сверхкритической" скорости их (т. е. скорости,
превышающей локальную скорость сх возмущений малой ампли-
туды). Рис. 47 дает возможность найти р - интенсивность гидравлического
прыжка, вызванного любым импульсным движением поршня, исходя из uJcq -
отношения скорости поршня к скорости волны в невозмущенной жидкости.
Вычислив теперь скорость, с которой масса жидкости, пересекаемая
гидравлическим прыжком в единицу времени (222)
Ряс. 47. Для гидравлического прыжка с интенсивностью в диапазоне О <Г р
•< 4, движущегося в невозмущенной воде по каналу постоянной ширины,
изображены безразмерная скорость прыжка U и другие величины, изменяющиеся
поперек прыжка (скорость жидкости меняется от нуля до щ, а волновая
скорость - от с0
ДО Ci).
222
2. Одномерные волны в жидкостях
теряет механическую энергию, получим
FlUi-PoA0u(±u\ + gh). (230)
Здесь FiUi - скорость, с которой производится работа над. этой жидкостью
со стороны жидкости за прыжком, толкающей 1
ее со скоростью щ, a j и\-р gh - сумма кинетической энергии
и дополнительной потенциальной энергии, которые она приобретает на
единицу массы (рис. 46). Эти утверждения требуют, чтобы h было
вертикальным смещением центра масс поперечного сечения жидкости на прыжке
и чтобы Fx было интегралом по площади Аг от величины pg (?х - z), на
которую давление воды превосходит атмосферное давление; рассматривая
только работу, совершаемую разностью давления жидкости и атмосферного
давления, удается избежать необходимости вычитать работу, совершаемую
поднимающейся жидкостью против силы атмосферного давления.
Очевидно, эта проинтегрированная разность давлений Fx по площади Ах
принимает вид
Axp0ghx, (231 >
где hx - средняя глубина точек в сечении Ах, отсчитанная от свободной
поверхности, т. е. - глубина центра масс Gx площади А1. Так как площадь А
х включает (рис. 46) часть с площадью А о с центром масс С?0,
расположенным на расстоянии h ниже Gx, и часть с площадью Ах-А 0 с
центром масс G' на глуби-
1 1
не g- Si ниже поверхности, то разность hx - j- можно записать
как расстояние A0h/ {Ах - Ай), на которое Gx ниже G', что дает
Fi - AiPog [у ti + Aohl (Ах-А0)] . (232)
Для проверки этой важной формулы для силы, определяемой интегралом от
давления за фронтом прыжка, можно с помощью аналогичных соображений
записать силу, определяемую интегралом от давления по поперечному сечению
А 0 перед фронтом прыжка, как
Fo = A0Pogh0 = A0p0g ? - у + Axh/ {Ax - A0) j , (233)*
где h0 - глубина центра масс G0 площади A 0, отсчитываемая вниз от ее
свободной поверхности, так что h0 + у ?г является расстоянием, на которое
G0 ниже G'; теперь заметим, что
2.12. Гидравлические прыжки
223
разность
Р1 - ^о = у(^1 + Л) Pog?i (234)
согласуется с суммарной силой в правой части (226), вычисленной ранее
другим методом.
Скорость потери механической энергии на прыжке (230) равна количеству, на
которое скорость работы над жидкостью на прыжке превосходит скорость
приобретения ею кинетической и потенциальной энергии. Скорость работы
Fxuь где дается выражением (232), а щ и ^ представляется из (223) и (225)
соответственно как U (Ах - Ай)!Ах и (Ах - А0)1Ъ, имеет следующий вид:
Fiui = Yp°Ug (Ai ~ A^/b + PoAoUgh. (235)
Следовательно, когда мы вычисляем разность (230),подставляя для и\
выражение из (227), два члена poAvUgh взаимно уничтожаются, а другие
члены дают в результате скорость потери механической энергии в
гидравлическом прыжке
9аиВ(А1-А0)ЩЪА1. (236)
Таким образом, несколько более сложные рассуждения приводят к довольно
простому выражению для скорости потери механической энергии с
зависимостью от куба изменения площади; эта зависимость даже более
