Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
|(NH) (NG) (NG)2, (219)
так как величина, обратная коэффициенту наклона GH, есть - t. Избыточная
скорость сигнала щ = NG за головной ударной волной поэтому удовлетворяет
соотношению
vx ~ (2Q/t)V\ (220)
представляющему собой асимптотический закон затухания ударной волны:
интенсивность обратно пропорциональна квадратному корню из времени.
Асимптотически волновой профиль - это узкий треугольник (рис. 44, б),
площадь которого постоянна, как требует закон сохранения массы; длина
возмущенной зоны NH асимптотически равна
VQty-P.
(221)
216 2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. 45. Асимптотический волновой профиль при t оо для исходного
волнового профиля, соответствующего сжатию с последующим разрежением
(рис. а) является N-волной (рис. б).
Хотя масса тем самым сохраняется, полная волновая энергия в импульсе
пропорциональна длине (221), умноженной на квадрат амплитуды (220), и
поэтому стремится к нулю пропорционально О3'2*-1/2; скорость ее
уменьшения, следовательно, пропорциональна (Q/t)sI2. Конечно, все
рассеяние механической энергии в тепло происходит внутри ударной волны, а
его скорость определяется увеличением энтропии, пропорциональным кубу
интенсивности ударной волны. Тогда увеличение энтропии, согласно (220),
будет пропорционально (iQlt)3^2, и подробное вычисление коэффициентов
(действительно выполненное ниже в формулах (263) - (269) для значительно
более общего случая) показывает точное совпадение между скоростью
изменения полной волновой энергии импульса и скоростью диссипации внутри
ударной волны как в этом предельном случае (при t -*¦ оо), так и для
более ранних времен.
Изучение многих интересных случаев искажения волнового профиля, при
котором возникает более одной ударной волны, здесь ограничивается только
одним случаем: исходным волновым профилем, для которого сжатие сменяется
последующим разрежением, как на рис. 45. Здесь происходит формирование
двух ударных волн, положение и время образования которых соответствует
двум точкам перегиба, лежащим на участках с отрицательным наклоном
волнового профиля. Правило Уизема показывает, что обе ударные волны
возрастают до максимальной интенсивности, а затем начинают затухать; они
становятся соответственно головной ударной волной, как на рис. 44, и
хвостовой ударной волной, поднимающей пониженное давление воздуха на
хвостовой части импульса до невозмущенного значения. Хвостовая ударная
волна со скоростью, промежуточной между невозмущенным значением с0 позади
нее и уменьшенной скоростью сигнала впереди нее, движется постепенно
назад
2.11. Простые волны, содержащие слабые ударные волны
217
в системе координат, в которой X = х - c0t. Асимптотическая картина
представляет собой так называемую N-волну, содержащую один треугольный
импульс, удовлетворяющий условиям (220) и (221), как на рис. 44 (где'(? -
площадь части исходного волнового профиля, лежащей выше оси X), и
следующий за ним перевернутый импульс длины (2Q't)1/2 (где Q' - площадь
части исходного волнового профиля, лежащей ниже оси А), заканчивающийся
хвостовой ударной волной, где и изменяется на величину (2Q' It)1/2.
Мы видели, что нелинейные эффекты могут привести к радикальным
преобразованиям акустических волновых профилей, при которых участки
сжатия переходят в разрывы, а наклон участков разрежения асимптотически
стремится к нулю (как 1 It). Эти преобразования уничтожают большую часть
информации, характеризующей исходный волновой профиль: в только что
приведенном примере асимптотическое поведение зависит только от площадей
Q и Q' его положительной и отрицательной частей.
Хотя эти примечательные свойства были установлены для временного
искажения пространственного волнового профиля, мы закончим этот раздел,
отметив, что существует полностью аналогичная теория, описывающая
изменения временного волнового профиля, связанные с положением х.
Определяя волновой профиль в этом случае (см. (189) и (190)) как
зависимость дефицита и1 - величины, обратной скорости сигнала,- от
модифицированной временной координаты, которую запишем как Alt заменив х
на fl5 можно определить распространение всех непрерывных частей волны по
правилу (уравнение (191)), согласно которому каждый сигнал, несущий
частное значение у1; движется вдоль траектории dXxjdt1 = v1. Снова
введение любого разрыва должно согласовываться с законом сохранения
массы, который для временных волновых профилей требует сохранения
полного потока массы j рudt через любое сечение х. Для слабых ударных
волн можно показать, как и выше, что соотношение между локальным потоком
массы ри и дефицитом v1 (величины, обратной скорости сигнала) с хорошей
степенью точности является линейным. Следовательно, любой разрыв может
быть введен с помощью процедуры, использующей сохранение площади
волнового профиля j и^Хи и вся теория этого раздела
может быть применена к анализу пространственного искажения временных
волновых профилей при условии, что v, X и ? всюду заменены на Хг и ?х
