Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
очевидна, чем соответствующие правила для ударных волн. Для
гидравлических прыжков, с другой стороны, имеется гораздо большее
разнообразие в способах, которыми можно осуществить требуемый отвод
энергии.
Причина этого состоит в том, что в теории плоских волн звука пренебрегают
только диссипативными эффектами, поэтому только они могут сбалансировать
(см. разд. 2.10) конвективные эффекты, необходимые при образовании
ударных волн; в теории длинных волн в открытых каналах пренебрегают также
и другими эффектами.
К ним относятся эффекты, связанные с любым нарушением допущения о том,
что волна является длинной, т. е. масштаб продольных изменений
значительно больше средней глубины h. Очевидно, всякий раз, когда
крутизна волнового профиля становится локально большой, можно ожидать
некоторого ухудшения точности этого допущения. Его природа будет
изучаться глубоко в дальнейшем начиная с гл. 3, но здесь мы предпошлем
этому последующему обсуждению неизбежно упрощенный обзор основных
выводов.
Обсуждение продольных волн в разд. 2.1 показывает, что-если искаженный
волновой профиль содержит (в смысле фурье-
224
2. Одномерные волны, в жидкостях
анализа) весомые синусоидальные составляющие, длины волн которых не
велики по сравнению с глубиной, то эти составляющие не обязаны двигаться
со скоростью длинных волн с относительно скорости жидкости и.
Действительно, в гл. 3 будет показано, что они движутся с более низкой
скоростью. Это наводит на мысль о следующем способе отвода энергии с
требуемой скоростью (236); сдвиговые искажения, вызывая образование
чрезвычайно крутой части волнового профиля, производят все более и более
весомые синусоидальные составляющие п малой длиной волны, которые отстают
от распространения остальной части волны, пока в конце концов не
возникнет некоторый равновесный волновой профиль, близкий к разрывному,
причем энергия отводится назад с требуемой скоростью (236) шлейфом
относительно коротких волн, следующих за прыжком.
Несколько моментов делают истинную картину более сложной, чем
вышеописанная. Некоторые из них являются следствием на первый взгляд
удивительного результата, приведенного в гл. 3: для волн, "фазовая
скорость" которых (скорость распространения любой заданной фазы
синусоидальной волны, например гребня) уменьшается с уменьшением длины
волны, скорость распространения энергии оказывается меньше фазовой
скорости. При равновесном распространении прыжка все образовавшиеся волны
имеют на самом прыжке одну и ту же фазу; следовательно, их фазовые
скорости равны скорости прыжка. Стало быть, они имеют фазовую скорость U
- щ относительно жидкости за прыжком, и эта величина, будучи, как
показывает рис. 47, меньше, чем скорость длинных волн clt определяет
длину генерируемых волн: это волны такой длины, что каждый гребень может
оставаться на постоянном расстоянии за прыжком. Их энергия, однако,
распространяется более медленно и, таким образом, утекает назад
относительно прыжка, а амплитуда этих волн должна подстраиваться так,
чтобы эта ¦скорость убыли энергии имела требуемое значение (236).
Помимо этих аспектов, полностью объясняемых в гл. 3, существуют и другие
сложности (эпилог, часть 2): если амплитуда каких-либо волн только что
описанного типа превысит определенное значение, значительная часть
энергии будет рассеяна за счет вспенивания на гребнях (для морских волн
это явление известно как "барашки".) Экспериментально настоящий "унду-
лярный прыжок" без заметного вспенивания, когда большая часть отводимой
энергии передается посредством шлейфа волн за прыжком, встречается только
при интенсивностях, меньших примерно 0,3. При больших интенсивностях
вспенивание и связанная с ним турбулентность уже на самом первом гребне
2.12. Гидравлические прыжки
225
Рис. 48. Волнистая бора на реке Северн.
локально рассеивает большую часть упомянутой энергии, которую требуется
отвести; лишь небольшая волнистость обнаруживается за прыжком при этих
интенсивностях.
В Англии заметное искажение профиля приливной волны по мере ее
продвижения вверх по постоянно сужающемуся эстуарию реки Северн вызывает
во время высоких сизигийных приливов гидравлический прыжок, называемый в
этой местности "борой", и это название широко используется вместо
выражения "гидравлический прыжок". Приближенное практическое правило
устанавливает, что ундулярные (волнистые) боры появляются при
интенсивностях, меньших примерно 0,3; в большинстве случаев бора на реке
Северн принадлежит к этому типу (рис. 48). Однако при определенных
условиях (рис. 49) образуются более интенсивные турбулентные боры с более
крутым, бешено пенящимся фронтом и с весьма слабым волновым шлейфом.
Можно отметить два дополнительных усложняющих обстоятельства, которым в
эпилоге будет дано полное объяснение с помощью уточненной нелинейной
теории; хотя даже волновые движения позади боры подвержены существенно
нелинейным влияниям и хотя некоторая доля требуемого отвода энергии
