Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно.
218
2. Одномерные волны в жидкостях
2.12. Гидравлические прыжки
Теория простых волн, развитая в'разд. 2.9 для общего случая продольного
распространения волн в однородных трубах или каналах, привела к загадке,
которая была разрешена в разд. 2.10 и 2.11 только для частного случая
плоских звуковых волн (с помощью теории ударных волн). Хотя во
вступительном описании теории нелинейных волн мы не намерены исчерпывающе
анализировать все возможные варианты распространения разрывных волн,
укажем теперь, как оно происходит в другом частном случае, а именно для
длинных волн в открытых каналах постоянной ширины, когда явные
соотношения между переменными, описывающими простую волну, задаются
уравнениями (181) - (183). Различные особые свойства и некоторые общие
черты, которые характеризуют разрывные волны там, где площадь поперечного
сечения жидкости может меняться, будут показаны здесь на примере теории
"гидравлического прыжка"- явления, часто встречающегося в естественных
потоках и имеющего также практическое значение при проектировании
гидравлических сооружений.
Обзор этой теории будет дан в порядке, несколько отличном от порядка в
разд. 2.10: перед обсуждением механизмов, которые могли бы противостоять
дальнейшему искажению волнового профиля, как только появляется нечто
близкое к разрыву, перечислим условия, которым должно удовлетворять
продольное движение в канале с постоянной шириной при любой разрывной
волне. Как и в разд. 2.10, рассмотрим сперва разрывную волну,
распространяющуюся в невозмущенную жидкость; такая волна может быть
вызвана импульсным вдвиганием поршня в жидкость со скоростью щ. Можно
ожидать, исходя из обсуждения в разд. 2.11, что те же самые уравнения,
правильно интерпретированные, будут применимы к разрывам, появляющимся
внутри непрерывного волнового движения.
Разрывная волна, движущаяся со скоростью U в невозмущенную воду с
площадью поперечного сечения А0 и плотностью р0, пересекает за единицу
времени массу жидкости
р 0A0U. (222)
Закон сохранения массы требует, чтобы за разрывной волной эта жидкость
выходила в том же самом количестве с относительной скоростью U - щ и с
новой площадью поперечного сечения Аи но с неизменившейся плотностью р0,
поскольку для •течений в открытых каналах (разд. 2.2) сжимаемость
пренебре-
2.12. Гидравлические прыжки
219
Ь
Af А о • G' ^
h
Рис. 46. Для гидравлического прыжка, движущегося вдоль канала
постоянной ширины Ь, поперечное сечение воды перед прыжком А о ограничено
уровнем невозмущенной воды z = 0 и имеет центр масс G0, а поперечное
сечение позади прыжка А1 ограничено уровнем поднявшейся воды z = Si и
имеет центр масс Gj. Разность площадей Аг - Л0 равна Sib и имеет центр
тяжести G'
при г = (1/2) ?.
жимо мала по сравнению с растяжимостью. Это дает уравнение
очень похожее на уравнение (195) для ударной волны. Однако форма
уравнения количества движения будет теперь более сложной, чем (196), по
крайней мере для его правой части, потому что в открытых каналах давления
перед разрывом и за ним приложены к различным площадям поперечного
сечения, а также гидростатически изменяются по этим сечениям.
Непосредственно за разрывом избыточное давление (15) принимает значение
Ро^ы гДе Si - превышение высоты свободной поверхности над невозмущенным
уровнем. Суммарную силу в направлении х, действующую на жидкость,
пересекаемую разрывом, можно разделить на две части (рис. 46): во-первых,
на силу действующую на жидкость ниже
уровня невозмущенной воды благодаря избыточному давлению, действующему по
площади поперечного сечения А0 этой жидкости, и, во-вторых, на силу
РИг (и - "i) = Ро^о^
(223)
(224)
о
действующую на жидкость, лежащую выше невозмущенного уровня воды.
Последнее выражение получено интегрированием
220
2. Одномерные волны в жидкостях
по z силы, действующей на соответствующей этой высоте площади bdz,
которая определяется разностью p0g (?* - z) между давлением жидкости
позади разрыва и атмосферным давлением воздуха перед разрывом. Приравняв
эту объединенную силу (после подстановки
%1Ъ = А1-А0, . (225>
как в (16)) скорости приобретения жидкостью количества движения (а именно
к потоку массы (222), умноженному на ж-сос-тавляющую скорости иъ
приобретаемой жидкостью), получим
p0A0Uui = Y (Ao + At) pog^j = у (А0 + Ах) (р0g/b) {А^ - А0). (226)
Уравнения (223) и (226) легко разрешить относительно U и иъ выразив их
только через А0 ж А г (а также через постоянные g и Ъ):
ГТ9. ^1 (^1 + ^о) ,,2 S (^1 -Л)2 + /ООЧ\
и -~ъ Щ ' "1- Щ 2АГ~- ( }
В правой части каждого из этих равенств первый сомножитель есть величина,
которую дает линейная теория для волны малой амплитуды, движущейся в
невозмущенную жидкость; следует отметить, что, как и ожидалось, скорость
U разрывной волны отличается от скорости (gAjb)1/2 сигнала с малой
амплитудой поправочным множителем, который увеличивается с увеличением
отношения площадей AJA0.
Эта зависимость уравнений (227) только от единственного отношения AJAq
