Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
показано в разд. 2.3, отражают значительную часть энергии). Хотя период
приливной волны настолько велик, что производная по времени в правой
части уравнения (254) весьма мала, однако левая часть этого уравнения
может быть выражена в виде
f [ft (0)/Ь (х)]1/2 [h (0)/h (x))Vidx (257)
о
через среднюю глубину h (х) = А0 (х)!Ъ (х), а этот интеграл может
возрасти в результате постепенного уменьшения Ъ (х) и h (х) до таких
больших значений, что условие образования разрыва легко может быть
выполнено.
Благодаря этим рассуждениям легко понять, как образуется •бора, когда
приливная волна распространяется вверх по постепенно сужающемуся
эстуарию, подобному эстуарию реки •Северн. На самом деле при этом
вероятность образования боры несколько переоценивается, потому что в этих
рассуждениях совершенно не учитывается диссипация потока волновой энер-
236
'?. Одномерные волны в жидкостях
гии за счет турбулентности. В левую часть выражения (242),.
представляющую собой квадратный корень из потока энергии в приближении
линейной теории, следует ввести поправку,, обусловленную ослаблением
волны, в виде множителя, отражающего медленное экспоненциальное затухание
с расстоянием (этот множитель, обусловленный турбулентной диссипацией,,
аналогичен ослабляющему множителю (142), обусловленному вязкой
диссипацией); в силу (244) этот самый множитель нужно-включить в V0 (х);
тем самым он будет ограничивать рост левой части (254). Этот метод
анализа оказался весьма успешным при объяснении, почему бора на Северне
образуется только при более высоких сизигийных приливах.
Преобразование, описываемое равенствами(247) - (249), сводит каждую
задачу к случаю однородных физических характеристик жидкости и
постоянного поперечного сечения (уравнение (252)) не только при том
условии, что волна остается непрерывной. Можно легко приспособить
рассуждения, проведенные в конце разд. 2.11, чтобы показать, что если в
переменных Тх, Хх, V1 процесс равномерного сдвига приводит к
многозначному непрерывному волновому профилю, то для превращения волны в
однозначную нужно ввести именно сохраняющий площадь разрыв. Для каждого
положения х (т. е. для каждого-
данного ТД общий поток массы JpAudt в импульсе должен
принимать одно и то же значение как для реального движения,, так и для
строго непрерывного (но многозначного) вычисленного движения. Поскольку в
каждом положении х соотношение между рАи и v1 для слабых импульсов
линейно, сохранение
| рAudt означает сохранение площади волнового профиля
^ V1 dXx. Следовательно, все выводы разд. 2.11, так же как
и разд. 2.9, применимы без всяких изменений, если использовать переменные
Т1, Хх и Vx.
В частности, показанный на рис. 44 метод для построения по-одному
исходному волновому профилю всех возможных разрывов последующих волновых
профилей применим в этих переменных непосредственно. Отсюда для
единичного импульса сжатия, имеющего при х = 0 (т. е. при Тх = 0) площадь
0). (258).
получим для больших х асимптотический волновой профиль с движущейся
впереди головной ударной волной, на которой Vx возрастает от 0 до
(2<?/7'1)1/2, как в (220), вызывая возрастание-
2.14. Нелинейная геометрическая акустика
237
v1 от 0 до
Vo(x) [2 ( f vi dt)x=0 j (Fo(0) j V0{x)dx} j1,2. (259)
о
За этой ударной волной следует треугольный импульс (сигнал, уменьшающийся
до нуля с постоянной скоростью), продолжительность которого (или, в
переменной Хх, длина которого) возрастает, как и в (221), согласно
формуле
(2QTt)1/2 = {2 ( J щ dt)x=o j [Vo (x)/V0 (0)] dx)m . (260)
о
Эти чрезвычайно общие асимптотические правила (259) и (260), описывающие
нелинейное распространение импульса (ряд интересных частных случаев их
применения приведен в следующем разделе), иллюстрируют мощность метода
преобразования при решении задач с постепенно меняющимися физическими
свойствами жидкости и поперечным сечением.
2.14. Нелинейная геометрическая акустика
Различные теории одномерных волн в жидкости не ограничены своими
приложениями к жидкостям, заключенным внутри материальных труб или
каналов. Они играют другую важную роль, как указывалось в разд. 2.1:
распространение звука в трехмерных системах, геометрические размеры
которых значительно превосходят характерную длину волны, можно
аппроксимировать, рассматривая соответствующие сигналы как одномерные
волны, бегущие вдоль абстрактных трубок лучей, определенных так, чтобы
для каждого луча время прихода сигнала в заданную точку было минимальным.
Это условие выделяет основной сигнал, достигающий этой точки, по причине,
подробно изучаемой в гл. 3 и 4 (вкратце потому, что сигналы, близкие к
сигналу с минимальным временем, почти постоянны по фазе; поэтому их
когерентные флуктуации при объединении составляют намного большую
величину, чем результат взаимо-уничтожающей интерференции сигналов,
сильно отличающихся по фазе).
Для случая распространения звука через однородную жидкость, разобранного
в гл. 1, такие пути с минимальным временем представляют собой кратчайшие
