Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пути; другими' словами, лучи являются прямыми линиями. В
противоположность этому распространение звука через жидкость, где
невозмущенная
238
2. Одномерные волны в жидкостях
скорость звука испытывает пространственные изменения, постепенные в
масштабе длин волн, происходит по криволинейным путям с минимальным
временем. Криволинейные луни могут быть рассчитаны в соответствии с
геометрической оптикой и описаны как подчиняющиеся законам преломления,
обсуждаемым далее в гл. 4.
Изменение акустической амплитуды вдоль трубки лучей было исследовано на
основе линейной теории в разд. 2.6: поток энергии остается постоянным в
процессе прохождения волны вдоль трубки (которая физически не существует
и поэтому не может вызывать какое-либо ослабление потока энергии за счет
трения о стенки как в разд. 2.7). Из этого следует (уравнение (91)), что
PeY1''2 = ре [А 0 (х)/(ро (X) с0 (t))]V2 (261)
остается постоянной при изменениях х и t, удовлетворяющих уравнению dx =
с0 (х) dt, т. е. при изменениях, которые сохраняют величину t - j c~\dx
постоянной. В преобразованных
переменных Тх, Хг и Vx, определенных формулами (244) - (249), это
означает, что волновой профиль (график зависимости Vx от А^) в рамках
линейной теории остается неизменным при изменениях Тх.
Видоизменение этого результата, учитывающее нелинейные эффекты для
сравнительно слабых возмущений, было предложено в разд. 2.13, а именно
сигнал, несущий неизменное значение (261) вдоль трубки, распространяется
с видоизмененной скоростью dxldt = и + с, которая больше для больших
значений ре и меньше для меньших. Это искажает импульс таким образом, что
в преобразованных переменных Тх, Хг, \\ непрерывный исходный волновой
профиль вместо того, чтобы оставаться неизменным, подвергается
однородному сдвигу с единичной скоростью по отношению к Тх, до тех пор
пока Тх не примет значение (253), которому соответствует бесконечный
тангенс угла наклона. После этого волновой профиль необходимо подвергнуть
дальнейшему видоизменению, введя ударные волны таким образом, чтобы он
оставался однозначным, а площадь под ним сохранялась неизменной.
Асимптотически любой начальный импульс сжатия стремится к треугольному
волновому профилю, определенному выражениями (259) и (260).
Эти результаты непосредственно применимы к оценке влияния нелинейности на
трехмерное распространение сравнительно слабых возмущений. Заметим, что
здесь используется по тем же самым причинам, что и прежде, основная идея
геометрической акустики о том, что сигналы следуют вдоль лучей, т. е.
вдоль
2.14. Нелинейная геометрическая акустика
239
путей, отвечающих минимальному времени. Мы также опять используем
траектории лучей, рассчитанные исходя из линейной теории, т. е. на
основании пространственного распределения невозмущенной скорости звука
с0. Любая попытка использовать для относительно слабых возмущений
истинную скорость сигнала приведет лишь к малым изменениям этих
траекторий,, а, следовательно, также к малым отклонениям распределения
площади поперечного сечения А0 (х) в (261) в зависимости от расстояния х
вдоль лучевой трубки. Эти изменения будут несущественными по сравнению с
большими изменениями величин в квадратных скобках в (261), которые
определяются вдоль любой трубки лучей по линейной теории. Правильным
подходом будет, следовательно, использование истинной скорости сигнала
там, где сравнительно малая добавка к этой величине вызовет значительный
кумулятивный эффект (посредством смещения волнового профиля), но не там,
где ее влияние) (за счет искажения лучей) остается относительно малым.
При таком подходе к нелинейной геометрической акустике представляет
интерес исследование потока энергии вдоль трубки лучей после той точки,
где формирование ударной волны вызывает диссипацию. Мы, однако, проведем
здесь эти вычисления только для совершенного газа с постоянными удельными
теплоемкостями и в асимптотическом предельном случае, когда равенства
(259) и (260) справедливы. Для этих равенств соотношение (245) между щ и
и позволяет записать
( U *)"=о = т^+1К2(0)я* .Я = (Ь *)*=<>' (262>
где Н является мерой общего смещения вперед жидкости в импульсе, которое
вычисляется в начальной точке х = 0 трубки лучей. Опять, используя (245)
вместе с (205), получим, что' асимптотическое значение интенсивности
сравнительно слабой ударной волны равно величине 2ус0 (х)/ (у + 1),
умноженной на (259); это дает выражение
Р ~ 2у [с0 (х)/с0 (0)] [V0 (x)/V0 (0)] X
X
X {н/(у + 1) j [F0 (X)IV0 (0)] dx}m , (263)
о
определяющее зависимость асимптотического затухания[интен сивности
головной ударной волны вдоль трубки лучей от Н и от функции (246).
Продолжительность (260) треугольного импульса, следующего за этой
головной ударной волной, опреде-
-240
2. Одномерные волны в жидкостях
-ляется аналогично:
Я
h ~ {(7 + i) Н | [V0 (x)/V0 (0)] dx }1/2/с0 (0). (264)
Отметим, что при некотором фиксированном положении х из-
быточное давление ре в импульсе асимптотической треугольной формы
