Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
может быть использован для некоторых систем, только часть которых
удовлетворяет этим предположениям.
Любая компактная область источников, конечно, удовлетворяет
противоположным условиям: ее размеры малы по сравнению с длиной волны. В
разд. 1.6 показано на основе линейной теории, что ее дальнее поле при
некоторых довольно общих предположениях может быть аппроксимировано полем
одного точечного источника с напряженностью q (t), равной скорости
изменения полного потока массы из области источника. В разд. 1.4
установлены соотношения для дальнего поля любого точечного источника,
описанные позднее (разд. 1.11) как соотношения геометрической акустики;
но, как подчеркивалось при рас-
2.14. Нелинейная геометрическая акустика
смотрении рис. 1, сигнал, распространяющийся вдоль каждой
трубки лучей, для дальнего поля пропорционален q; напротив, он
пропорционален q, когда условия геометрической акустики применимы всюду
(как при излучении больших сфер, изученном в разд. 1.11).
Было показано, что для сравнительно слабых возмущений протяженность
распространения должна превысить несколько длин волн, прежде чем
нелинейные эффекты вызовут существенное искажение волнового профиля. Это
предполагает, что превращение потока массы q, характерной для ближнего
поля, в сигналы дальнего поля должно адекватно описываться линейной
теорией, в то время как дальнейшее распространение на большие расстояния
таких сигналов в дальнем поле (пропорциональных q) может рассматриваться
с помощью геометрической акустики в версии этого раздела, учитывающей
нелинейные эффекты. Однако заметим, что эти сигналы обычно не могут
состоять из одиночного импульса сжатия; например, если полный массовый
расход из источников возрастает до положительного максимума qmax, а затем
падает до нуля, то дальнее поле с напряженностью q будет состоять (рис.
1) из одного импульса сжатия и следующего за ним импульса разрежения с
той же площадью, которые нелинейные эффекты превратят (рис. 45) в N-
волну.
Таким образом, в атмосфере с однородными певозмущенными плотностью и
скоростью звука распределение скорости дальнего-поля точечного источника
u^=q (t-г/с0)/ (4лгр0с0) (275)'
создает на расстоянии г0 (которое для применения вышеописанного анализа
мы выбираем в качестве начального поперечного сечения трубки лучей х = 0
(так что х = г - г0)) смещение
Н- ( ^ udt)x=0 = (?тах/(4 Яг0р0С0) (276)
для участка сжатия волнового профиля и равное и противоположное смещение
для участка разрежения. Отношение площадей лучевой трубки (270) равно (r0
+ x)2/rl и, таким образом, асимптотическая форма импульса представляет
собой N-волну, состоящую из переднего импульса треугольной формы,
длительность которого, согласно (271), равна
X
h ~ {(?+!)# j Го(го + *)_1<**}1/2/со =
о
= {(V +1) 7юах [In (г/г0)]/(4яроС")}1/2, (277)
16*
244
2. Одномерные волны в жидкостях
и равного и противоположного хвостового импульса треугольной формы.
Асимптотическая величина интенсивности (272) обеих ударных волн равна
Р - 2уг0 (г0 + х)-1 H/(c0tv) =
= 2v [?шах/(4я (Y+ 1) р0с0)]1/2/г [In {Пг0)}х/\ (278)
Эти приближенные формулы лишь слабо чувствительны к выбору значения
радиуса г0, при котором по предположению начинается нелинейное искажение
дальнего поля.
Аналогичное рассуждение применимо к двумерному распространению
цилиндрического импульса от длинной однородной линии компактных
источников: линейная теория может быть использована, чтобы оценить
образование сигнала дальнего поля, в этом случае пропорционального (рис.
1) производной порядка 1/2 от q (t), в то время как нелинейная
геометрическая акустика описывает его последующее развитие. В результате
снова получается N-волна, так как даже чисто положительный массовый
расход (например, от взрывающейся проволочки), как видно на рис. 1,
порождает дальнее поле, содержащее как фазу сжатия, так и фазу
разрежения.
Хотя для большинства областей, содержащих источники, лучи
распространяются по всем направлениям, существуют некоторые
примечательные исключения из этого правила: любая область источников,
движущаяся со скоростью U, большей чем невозмущенная скорость звука с0,
испускает лучи только под острым углом
0 = arccos (c0/U) (279)
к направлению его движения; это лучи, несущие знаменитый "звуковой удар".
Мы исследуем это явление главным образом для изотермической атмосферы, в
которой с0 является постоянной.
В такой атмосфере звуки, излученные источником, когда его расстояние от
наблюдателя уменьшается со скоростью, превышающей с0, будут услышаны
наблюдателем в обратном порядке ("пап пеп пип поп пуп" будет слышно как
"пуп поп пип пеп пап"!), потому что относительно более быстрое
приближение источника оставляет позади звуки, излученные в более ранние
времена. Между этой довольно необычной ситуацией и обыкновенным случаем,
когда звуки. будут слышны в правильном порядке, потому что удаленность
источника от наблюдателя уменьшается медленнее, чем с0, лежит критическое
