Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
переменным поперечным сечением, аналогичным случаям, проанализированным в
рамках линейной теории в разд. 2.3-2.6. Ответ на этот вопрос для случаев,
подобных тем из изученных в разд. 2.3-2.5, которые содержали разрывы
проводимости, должен быть отрицательным: фундаментальное свойство простой
волны, с ее тождественным равенством нулю величины и - Р вдоль каждой С_-
характеристики (уравнение (168)), состоит в том, что отсутствует какое-
либо распространение в отрицательном направлении х, сопровождающее
волновое движение в положительном направлении х\ очевидно, это свойство
исключает возможность появления отраженных волн, которые обязательно
возникают (разд. 2.3) на любом разрыве проводимости. Однако эти
рассуждения не распространяются на случаи с постепенно меняющейся
проводимостью, в которых, как было показано в разд. 2.6, изменение,
достаточно постепенное в масштабе длины волны, по
2.13. Нелинейное распространение
229
существу не вызывает отраженной волны, по крайней мере согласно линейной
теории.
Поэтому в этом разделе будет использовано сочетание идей из разд. 2.6 и
2.9 для построения нелинейной теории распространения импульса (по
механизму простой волны) через некоторую трубу (или канал), поперечное
сечение которой, а также, возможно, и физические характеристики
заполняющей ее жидкости в отсутствие возмущений изменяются постепенно по
длине трубы (или канала) в масштабе длины импульса. Однако ограничим себя
относительно слабыми импульсами в смысле разд. 2.11, отчасти чтобы
сделать анализ простым, а отчасти чтобы в случаях, когда предсказываемый
волновой профиль является многозначным, иметь возможность расширения
теории с помощью введения разрыва, сохраняющего его площадь.
Итак, нам нужно рассчитать влияние нелинейности на распространение
относительно слабого импульса по трубе (или каналу), для которой
поперечное сечение Н0 (х), а также волновая скорость с0 (х) и плотность
Ро (х) содержащейся в ней жидкости в отсутствие возмущений меняются
постепенно в масштабе длины импульса. Было бы весьма затруднительно
решать эту задачу исходя из полных уравнений движения (2), (3), (4) и
(99). Простые физические соображения, использованные в начале разд. 2.8
для получения результатов Римана (154) и (155), подсказывают более легкий
подход.
Идея этого подхода состоит в том, что в локальной системе координат,
движущейся со скоростью жидкости и, переменные локально изменяются в
соответствии с линейной теорией; эта идея использовалась в разд. 2.8 для
вывода уравнений (146) и (147), описывающих локальное поведение. Однако
если при отсутствии возмущений физические характеристики жидкости и
поперечное сечение испытывают постепенное пространственное изменение, то
предсказанное линейной теорией поведение является таким, как описано в
разд. 2.6; например, общее выра-жание для ре по линейной теории есть
сумма выражений (91) и (92). Комбинируя это выражение с аналогичным
выражением для и (равным в действительности разности выражений (91) и
(92), деленной на произведение плотности и скорости звука), можно
получить результаты, характеризующие отношения изменений различных
физических величин вдоль кривых
С + : dx = (и с) dt и Сdx = (и - с) dt, (239)
и обобщающие выражения (152)-(155).
Однако некоторые осложнения, которые, как можно ожидать, появятся в этом
обобщении благодаря зависимости от х невозмущенной проводимости
Л0/(р0с0), в значительной степени
230
2. Одномерные волны в жидкостях
будут уменьшены в силу предположения о том, что весь импульс является
коротким по сравнению с расстоянием, на котором происходят существенные
изменения в А0, р0 и с0. Тогда если импульс распространяется в
положительном иаправлении х, то та часть любой кривой Скоторая лежит
внутри импульса, остается целиком в области, где А0, р0 и с0 могут
считаться эффективно постоянными. Это означает, что условием вдоль такой
части кривой С_ можно придать вид (155), соответствующий однородным
поперечному сечению и физическим характеристикам жидкости, и что в
качестве константы можно взять нуль, как и в (163), потому что кривая С_
начинается в невозмущенной области перед импульсом.
Тогда соотношение между скоростью жидкости и и избыточным давлением ре
принимает тот же самый вид, что и в (163), за исключением того, что
зависимости р и с от ре могут меняться с расстоянием, т. е.
Значение х в правой части (240) принимается постоянным потому что при
интегрировании уравнения du - dpjpc вдоль кривой С_ от точки (х, t) до
области ре = 0 перед импульсом х меняется слишком мало, чтобы это
повлияло на значения р и с. Значит, локально можно использовать
соотношения для простой волны, связывающие скорость жидкости и и
избыточное давление ре, а, следовательно, также волновую скорость с (ре,
х), соответствующие однородным поперечному сечению и физическим
характеристикам жидкости.
Таким образом, установлен тот факт, что основные свойства распространения
