Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
у (па) w^> = Ядо(Ч
(23,13)
Явный вид этих спиноров:
— е
е1 Ф/2
е
C0ST
(23,14)
*) В спинорном же представлении имеем | = —т) вместо соотношения | = г), справедливого в системе покоя для решений с «положительными частотами»,
$ 23) ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ 1 1 f
где 0 и ф — полярный угол и азимут направления л относительно фиксированных осей xyz 1).
Другой возможный выбор двух независимых состояний свободной частицы с заданным р (более простой, хотя и менее наглядный) отвечает двум значениям z-проекции спина в системе покоя; обозначим ее ст. Соответствующие спиноры;
да(а-'/,)= ( о ) , = (23,15)
В качестве же двух линейно независимых решений с «отрицательной частотой» мы выберем плоские волны, в которых трехмерные спиноры
w[a)' = — oyw(~а) = 2схгда(а) (23,16)
(смысл такого выбора выяснится в § 26).
Можно найти такое представление плоской волны, в котором в любой системе отсчета (а не только в системе покоя) она имеет всего две компоненты, отвечающие определенным значениям той же физической характеристики — проекции спина в системе покоя (L. Foldy, S. A. Wouthuysen, 1950).
Отправляясь от амплитуды ир в стандартном представлении (23,9), ищем унитарное преобразование к такому представлению в виде
u'p = Uup, и = е*ч«,
где W — вещественная величина; поскольку y+ = —V> ПРИ этом автоматически U+=U~K Разлагая в ряд и учитывая, что Оуп)2 = —1, представим U в виде
U = cos W + уп sin W
(ср. переход от (18,13) к (18,14)). Из условия, чтобы в преобразованной амплитуде и'р вторые две компоненты обратились в нуль, найдем
tgr-----LpL,
6 т + е
так что
от + е + (уп) |р1 У2е(е + т)
В новом представлении
U; = V 2^ (о)- (23,17)
') Решение уравнений (23,13) допускает умножение на произвольный фазовый множитель, что связано с возможностью произвольного поворота вокруг направления п.
112
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. III
Гамильтониан частицы в этом представлении принимает вид
Н' = U (ар -f pm) U~l = ре (23,18)
:(все матрицы р, а, у стандартного представления). Этот гамильтониан коммутативен с матрицей
2 = •
ау
= (°
\0 о)'
которая в новом представлении является оператором сохраняющейся величины — спина в системе покоя.
§ 24. Сферические волны
Волновые функции состояний свободной частицы (со спином '/г) с определенными значениями / момента представляют собой спинорные сферические волны. Определим их вид, для чего напомним предварительно аналогичные формулы нерелятивистской теории.
Нерелятивистская волновая функция есть 3-спинор i|3=(^2)-
Для состояния с определенными значениями энергии е (а с нею и величины импульса р1)), орбитального момента I, полного момента / и его проекции т волновая функция имеет вид
ty = RPi(r)&iim(Q, Ф)- (24,1)
Ее угловая часть Qjim — трехмерные спиноры, компоненты которых (для двух значений / = I ± '/г, возможных при данном I) даются формулами ______
Vi + m. v 2j Y‘• «-‘А
^l + Чг, I, т —
Q/—V». l, т —
V
1 — m 2 j
Y I, m+4i
л/1??
— m+ 1
2/+2 л/.'+"+|-
Yl, m—'i
2/+2
Yl, т+У2
(24,2)
(см. Ill, § 106, задача). Будем называть шаровыми спинорами. Они нормированы условием
Ц П mm"
(24,3)
Радиальные же функции Rpi представляют собой общий множитель в обеих компонентах спинора г)з и даются формулой
') В этом параграфе р обозначает |р|
§ 24]
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
113
III (33,10):
(24,4)
Они нормированы условием
со
^ r^-Rp'tRpt dr = 2л6 (р' — р).
(24,5)
о
Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде всего, что для движущейся частицы не существует раздельных законов сохранения спина и орбитального момента: операторы s и I каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом. По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) четность состояния. Поэтому квантовое число / теряет смысл указания на определенное значение орбитального момента, но им определяется (см. ниже) четность состояния.
Условимся рассматривать искомую волновую функцию (би-
спинор) в стандартном представлении: ф ^ ^ . По отношению
к вращениям qp и % ведут себя как 3-спиноры. Поэтому их угловая зависимость дается теми же шаровыми спинорами Q/ 1т Пусть фоо ?1цт, где / — одно (определенное) из двух значений: j ’Д или /—’Д. При инверсии ф(г)->-гф(—г) (см. (21,18)), и поскольку Qjtm (— n) = (— l)1 Qjtm (п), то
Составляющие же % ведут себя при инверсии согласно х(г)_>‘ ->•—г'х(—г)- Для того чтобы состояние обладало определенной четностью (т. е. чтобы при инверсии все компоненты умножались на один и тот же множитель), необходимо, следовательно, чтобы угловая зависимость % давалась шаровым спинором й;гт с другим (из двух возможных) значением /: поскольку эти значения различаются на 1, то (— 1)г= — (— l)z.
Далее, радиальная зависимость ф и % будет определяться теми же функциями Rpt и Rpy (со значениями / и /', отвечающими порядку ВХОДЯЩИХ В Qjtm шаровых функций). Это ясно из того, что каждая из компонент ф удовлетворяет уравнению второго порядка (р2 — т2)\|) = 0, которое при заданном значении | р | имеет вид
ф(г)-»/(— 1)'ф(г).
(А + р2) -ф = 0,
формально совпадающий с нерелятивистским уравнением Шре-дингера для свободной частицы.
