Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
4i Sp Y5Y VvvYp = ie^o. (22,20)
108
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. TTI
Отметим еще формулу:
YN = /у5 (Ya) (YЬ) (ус), Nх = eX|1V!)a1iftvCp> (22,21)
справедливую для взаимно перпендикулярных 4-векторов а, Ь, с: ab = ас = Ьс = 0.
В некоторых случаях (в задачах, в которых фигурируют нерелятивистские частицы) может возникнуть необходимость в вычислении следов произведений, в которые входят раздельно у0 и трехмерный «вектор» Отличны от нуля лишь следы произведений с четным числом множителей у0 и Y- При этом все множители у0 сводятся к 1, а следы произведений с двумя и четырьмя множителями у даются формулами
*/4 S р (ay) (by) = — ab,
(22 22'»
*А Sp (ay) (by) (су) (dy) = (ab) (cd) - (ас) (bd) + (ad) (be).
§ 23. Плоские волны
Состояние свободной частицы с определенными значениями импульса и энергии описывается плоской волной, которую представим в виде
Ь = ^щире~1рх- (23,1)
Индекс р указывает значение 4-импульса; амплитуда волны ир — определенным образом нормированный биспинор.
При дальнейшем проведении вторичного квантования нам понадобятся, наряду с волновыми функциями (23,1), также и функции с «отрицательной частотой», возникающие в релятивистской теории, как было объяснено в § И, в связи с двузначностью корня ±Vp2 + m2- Как и в § 11, мы будем везде понимать под е положительную величину е = + д/рг + т2> так что «отрицательная частота» есть —е; изменив также знак р, мы получим функцию, которую естественно обозначить как
(23’2)
Смысл этих функций выяснится в § 26. Ниже мы будем параллельно выписывать формулы для i^p и
Компоненты биспинорных амплитуд ир и ы_р удовлетворяют системам алгебраических уравнений
(ур — т)ир = 0, (ур -+- т)и_р — 0, (23,3)
получающимся подстановкой (23, 1—2) в уравнение Дирака
§ 23] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ 109
(что сводится к замене в последнем оператора р на ±р) ‘). Соотношение р2 — т2 является при этом условием совместности каждой из этих систем. Мы будем всегда нормировать биспи-норные амплитуды инвариантными условиями
йрир = 2т, «_ри_р= — 2т (23,4)
(черта над буквой обозначает, как везде, дираковское сопряжение: й — и у0). Умножив уравнения (23,3) слева на й±р, получим (й± р\и± р) р — 2т.2 = 2р2, откуда видно, что
йру ир = й_ру и_р = 2р. (23,5)
Отметим, что переход от формул для и0 к формулам для и~р производится путем изменения знака т.
4-вектор плотности тока:
i = $±pn±p=-^*±py «±р = -^-. (23,6)
т. е. />* = (1, v), где v = р/е — скорость частицы. Отсюда видно, что функции 1|}р нормированы «на одну частицу в объеме V = 1».
В силу уравнений (23,3) компоненты амплитуды волны связаны друг с другом некоторыми соотношениями, конкретный вид которых зависит, конечно, от выбора представления if. Найдем их для стандартного представления.
Из уравнений (21,19) имеем для плоской волны
(е — т) ф — рстх = 0, (е + т) % — рстф — 0. (23,7)
Из этих равенств находим соотношение между ф и % в двух эквивалентных видах:
Ф Х = (23,8)
(эквивалентность этих формул очевидна: умножая первую из
них слева на ра/ (е + "*) и учитывая, что (рст)2 = р2 и е2 — т2 =
= р2, получаем вторую). Общий же множитель в ф и % выбираем таким образом, чтобы удовлетворить условию нормировки (23,4). В результате получим для ир (и аналогично для ц_0) следующие выражения:
" ), = <•*•') (23,9)
\ -уе — т (п«) w J \ Vе + т w /
(вторая формула получается из первой изменением знака перед т и переобозначением ш—>- (no)w'). Здесь п — орт вектора р, а
’) Отметим также аналогичные системы, получающиеся из уравнения Дирака (21,9) для комллексно-сопряженной функции:
йр (YР — т) — 0, «-р (YР + т) = 0. (23,3а)
110
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. III
w — произвольная двухкомпонентная величина,' удовлетворяющая лишь условию нормировки
и перемножением убеждаемся, что действительно и±ри±р = ±2т. В системе покоя, т. е. при е = т, имеем
т. е. w представляет собой тот 3-спинор, к которому сводятся в нерелятивистском пределе амплитуды каждой «з волн. Отметим, что в биспиноре ы_р обращаются в нуль в системе покоя первые, а не вторые две компоненты. Это свойство решений уравнения Дирака с «отрицательными частотами» очевидно: положив в
(23,7) р = 0 и заменив е на —т., получим ф = 0‘).
Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двухкомпонентную величину. Другими словами, при заданном импульсе существует два различных независимых состояния в соответствии с двумя возможными значениями проекции спина. При этом, однако, проекция спина на произвольную ось 2 не может иметь определенного значения. Это видно из того, что гамильтониан частицы с определенным р (т. е. матрица Я = ар + -f-pm) не коммутативен с матрицей 2Z = — iaxay. В соответствии со сделанными в § 16 общими утверждениями сохраняется, однако, спиральность А, — проекция спина на направление р: гамильтониан коммутативен с матрицей п?.
Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых трехмерный спинор w = tw(X>(n)—собственная функция оператора па:
W*w = 1.
Для й = и*у° (у0 из (21,20)) имеем
(23,10)
up = (Vе + mw', — л/г — mw' (па)),
(23,11)
й_р = (Vе — m до" (па), — Vе + rn до'*)
м„ = У2т(о), ы_р = У2т(^, ), (23,12)
