Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(<?/)«= CTapfp. (20,7)
Запись f в виде вертикального столбца ) отвечает тому, что
каждая строка в а перемножается со столбцом f.
Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь еще раз матрицы Паули
«*=(? i)’ »»“(? "»)¦ Ci -1) <2(w
и напомним их основные свойства:
<*lak + akai — = + fiift (20,9)
(см. Ill, § 55).
§21) СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 99
Напишем также волновое уравнение, которому удовлетворяет комплексно-сопряженная волновая функция, составленная из спиноров
i* = (iM2-), Tf = (»)•., T)*s> (20,10)
Поскольку все операторы р содержат множитель г, то /5* = = — рц. При взятии комплексно-сопряженного от обеих сторон уравнений (20,5) надо также учесть, что в силу эрмитовости матриц о (о* = а)
т = °:Л=Г^а = (Г°)а>
и мы получаем уравнения в виде
Л* iPo + Р°) = — (Ро — Р°) = — тг\- (20.И)
В этой форме записи условно подразумевается, что операторы /)** действуют на функцию, стоящую слева от них. Запись |* и г|* в виде горизонтальных строк соответствует матричному умножению в этих уравнениях: строка f перемножается со столбцами в матрицах о:
(/y>« = /;v- (20.12)
Преобразование инверсии для |*, rj* определяется как комплексно-сопряженное от преобразования (20,4):
Р-. t' ->-Ч> (20,13)
§ 21. Симметричная форма уравнения Дирака
Спинорная форма записи уравнения Дирака является наиболее естественной в том смысле, что она непосредственно выявляет его релятивистскую инвариантность, Однако в применениях могут оказаться более удобными другие представления волнового уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех независимых компонент волновой функции.
Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом ^ (с компонентами г]п, i = 1, 2, 3, 4). В спинорном представлении это есть биспинор:
*=(];)• (21 л)
Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых компонент ^ любые линейно независимые комбинации компонент спиноров | и г] '). Условимся при этом ограничивать допу-
') Для краткости будем говорить о четырехкомпонентной величине t}> как о биспиноре также и в неспинорных ее представлениях,
10Q ФЕРМИОНЫ [ГЛ. ш
стимые линейные преобразования лишь требованием унитарности; такие преобразования не меняют составленные из г|> и г|>* билинейные формы (см. § 28).
В общем случае произвольного выбора компонент i]j уравнение Дирака можно представить в виде
А =
где y^1 (|la = 0, 1, 2, 3)—некоторые четырехрядные матрицы {матрицы Дирака). Будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы:
(уР - т) Ф = 0, (21,2)
где
Y0 = Y^n = A)Y° — PY=^Y°-^- + *YV, V = (y\ Y2, Y3)-
Так, спинорной форме уравнения с компонентами ip из (21,1) соответствуют матрицы ')
V"“(? i)’ ’-(2 “")• <21.3)
как это легко видеть, записав уравнения (20,5) в виде
ро 0 J\r\J V л ^
и сравнив с (21,2).
В общем случае матрицы y должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство р2 — т2. Для выяснения этих условий умножим уравнение (21,2) слева на ур. Имеем
(Y^n) (YvPv) Ф = т {р„у») ф = m2ij3.
Поскольку Pnpv — симметричный тензор (все операторы рц коммутативны), можно переписать это равенство как
Y P»Pv (YMYV + YVY^) Ф = tn%ф, откуда видно, что должно быть
YnYv + YvYn ^ 2gt>v. (21,4)
Таким образом, все пары различных матриц y^1 антикоммутатип-ны, а квадраты каждой из них:
(Y1)2 = (y2)2 = (Y3)2 = — 1, (y0)2 = 1 • (21,5)
') Здесь и в дальнейшем используется краткая запись четырехрядных матриц через двухрядные: каждый символ в выражениях (21,3) представляет собой двухрядную матрицу.
§21]
СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
101
При произвольном унитарном преобразовании компонент г|э(г|/ = U\j), где U — унитарная четырехрядная матрица) матрицы у преобразуются согласно
у' = UyU~l = UyU+ (21,6)
(так что уравнение (ур — m)ty=0 переходит в (у'р — т)г|/ = 0). Перестановочные соотношения (21,4) при этом, разумеется,
остаются неизменными.
Матрица v° из (21,3) эрмитова, а матрицы у антиэрмитовы. Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразовании (21,6), так что мы будем всегда иметь !):
Y+ = — Y. Y0+ = Y°. (21,7)
Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной
функции -ф*. Взяв комплексно-сопряженное от уравнения (21,2), с учетом свойств (21,7) получим
(— Pof — PY — т) ф* = 0.
Переставляем ф* согласно уЧ5* = ФЧ11 и умножаем затем уравнение справа на \°; замечая, что yy° = —Y°Y> и вводя новый биспинор
^ = ^*Y°, ^* = ^Y°. (21,8)
получаем
Ъ(Чр + т) = 0. (21,9)
Как и в (20,11), оператор р предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию ф называют дира-ковски-сопряженной (или релятивистски-сопряженной) функции г|). Смысл множителя у0 в ее определении заключается в том, что (в спинорном представлении) он переставляет спиноры ?* и т]* так, что в = (ту*, ?*) первым оказывается (как и в я)з) непунктирный, а вторым — пунктирный спинор; именно по этой причине ф является более естественным (чем т?*) «партнером» я)з, когда, например, они фигурируют совместно в различных билинейных комбинациях (см. § 28).
Преобразование инверсии для волновой функции можно представить в виде
