Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
*) Для частиц со спином 0 этот вопрос вообще не возникал, так как скалярные функции -ф и -ф* удовлетворяют одному и тому же уравнению, и
просто совпадает с i|>p.
120
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. Ill
будем называть волновой функцией позитрона (с импульсом р и поляризацией а). Обозначив матрицу требуемого унитарного преобразования Uc, напишем
е) = ^-Р-а- (26>D
Операция С, с помощью которой эта функция образуется из ¦ф_р_о, называется зарядовым сопряжением волновой функции (Н. A. Kramers, 1937). Это понятие не ограничено, конечно, его применением к плоским волнам. Для всякой вообще функции ф существует «зарядово-сопряженная» функция
6ф(<, r) = Uc^(t, г), (26,2)
преобразующаяся, как г|э, и удовлетворяющая тому же уравнению.
Свойства матрицы Uc следуют из этого определения. Если г|э — решение уравнения Дирака (ур— т)\|э = 0, то гр удовлетворяет уравнению
¦ф (УР + т) = 0, или (ур + т) гр = 0.
Умножив это уравнение слева на Uc:
UcyPty + mUcty = 0,
потребуем, чтобы функция f/c'ij) удовлетворяла тому же уравнению, что и г|э:
(ур — т) = 0.
Сравнив оба уравнения, найдем следующее «соотношение коммутации» между Uc и матрицами ум‘):
U с У» = ~ У^и с- (26,3)
Будем предполагать далее, что волновые функции заданы в спинорном или стандартном представлении (к общему случаю произвольного представления мы вернемся лишь в конце этого параграфа). В этих представлениях
Y°t 2 — у0* 2^ у1, ^ — — у1,
(Y°, i, з)* = Y°. i, э) y2* = — Y2- №,\)
Тогда условиям (26,3) удовлетворяет матрица Uc = ticY2Y° с
произвольной постоянной tic. Из требования С2 = 1 следует, что
1 Tie |2 = 1, так что матрица Uc определена с точностью до фазового множителя. В дальнейшем мы выберем r|c = 1, так что
Uq~ Y2Y°= — ау (26,5)
') Отметим также следующее отсюда равенство
Ucy5 = y5Uc.
(26,3а)
§ 26] ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 121
Заметив также, что == у°г15* == Т°г15*> можно записать
действие оператора С в следующем виде:
Сг|) = у2у0,Ф = У21!5*- (26,6)
В явном виде преобразование (26,6) для спинорного представления
С: 6в--й|4*, г|4--С (26,7а)
или, что то же,
С: SB--*Y4, Л (26,76)
Преобразование зарядового сопряжения для плоских волн ¦ф±Ра легко произвести, воспользовавшись их явными выражениями (23,9) и матрицей Uc в стандартном представлении:
= “о”')- <26.8>
Заметив, что
(J^(J — (JCTу)
при определении w(а>' согласно (23,16) получим
UcH-p-a = Upa, UсЧ — р—а Ира. (26,9)
Таким образом,
Ct_p_a = tpa. (26,10)
так что функции г|)_р-0, фигурирующие в гр-операторах (25,1)
вместе с операторами Ьр<г, действительно отвечают состояниям частицы с импульсом р и поляризацией о. Мы видим также, что электронные и позитронные состояния описываются одними и теми же функциями:
ф(э) _ ф(П) __ ф * т ра т р<j тра
Это вполне естественно, так как функции г|)р0 несут в себе сведения лишь об импульсе и поляризации частицы.
Аналогичным образом можно рассмотреть операцию обращения времени. Изменение знака времени должно сопровождаться комплексным сопряжением волновой функции. Для того чтобы получить в результате «обращенную по времени» волновую функцию (fip) в том же представлении, что и исходная г|), надо еще произвести над компонентами гр* (или ф) некоторое унитарное преобразование. Таким образом, аналогично (26,2) представим действие оператора Т на г|) в виде
Гф(/, г) = С/г-ф (—/, г), (26,11)
где UT — унитарная матрица.
122 фермионы [гл. пт
Снова пишем уравнение Дирака, которому удовлетворяет if:
('Y0 Ж + /yV — m) ^ ({> г) = °>
и уравнение для if:
('Y° Jf + fiV + tnj if (/, r) = 0.
Заменим в последнем уравнении t->—Г и умножим его слева на —UT:
(iUTy° — /t/rvv) if (— i, г) — mUTif (— /, г) = 0.
Мы хотим, чтобы функция ?/rif{—t, г) удовлетворяла тому же уравнению, что и if(i, г );
('Y° Ж + 'vV) Ut^ ~ г)= °*
Сравнив оба уравнения, найдем, что матрица Ut должна удовлетворять условиям
UTy° = y°UT> UTy = — \UT. (26,12)
В спинорном и стандартном представлениях этим условиям удовлетворяет матрица ')
{/г = /ууу>. (26,13)
Таким образом, действие оператора Т дается формулой
fif (/, r) = i'Y3Y1Y0,t'{—г) = ryW (— U г)* (26,14)
В явном виде это преобразование для спинорного представления
T:la-+-iVa, ti4-fti4* (26,15а
или
T:la-*tT', г)й — гт]*. (26,156)
В стандартном представлении
«М? (2е.|6>
Найдем результат воздействия на if всех трех операций Р,
Г и С. Для этого пишем последовательно:
Тif {t, г) = — /уYif* (— t, г), Pf^{t, г) = гу°(Тif) = уУу3ф*(—f, — г),
СРТif (/, г) = у2 (yVy4T = yVy’y4 (— t, — г),
') Выбор фазового множителя в (26,13) связан с выбором в (26,5) соображениями, указанными ниже, в примеч. на с. 125.
ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
123
или
СРТЦ (t,r) = (— — г). (26,17)
В спинорном представлении
СРТ: <т)4, (26,18)
в чем легко убедиться и прямо из правил преобразований (20,4),
(26,7), (26,15)').
Написанные выше выражения для матриц Uc и UT предполагали спинорное или стандартное представление ip. Выясним, наконец, какие из свойств этих выражений сохраняются для произвольного представления
Если ip подвергается унитарному преобразованию:
