Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(ж - а*Ж + р w - а*ж + ima«) = °-
в котором все коэффициенты вещественны.
АЛГЕБРА МАТРИЦ ДИРАКА
105
§ 22. Алгебра матриц Дирака
При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, приходится широко пользоваться матрицами у, не прибегая к их конкретному виду в том или ином определенном представлении. Правила оперирования этими матрицами всецело определяются перестановочными соотношениями
YV + YvY,i = 2^, Ц> v —- 0, 1, 2, 3, (22,1)
выражающими все их общие свойства.
В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алгебры матриц у, полезных в различных вычислениях.
«Скалярное произведение» матриц у самих на себя: guvY'V = 4. Для краткой записи введем, по аналогии с кова-риантными компонентами 4-векторов, обозначение у^. = &nvYv-Тогда
Y^ = 4. (22,2)
Если же матрицы уц и у11 разделены одним или несколькими множителями у, то одной или несколькими перестановками множителей (с помощью правила (22,1)) можно привести у^ и у^ к соседним положениям, после чего суммирование (по ц) совершается согласно (22,2). Таким способом получаются следующие формулы:
YnYvYM' = — 2у\
y,y1yY = ?v,
YhY^YvYpY“ ^ — 2 yPyvY\ ’
YnYVY'W == 2 {y°yxyvyp YpYvY^Ya)*
Обычно множители у11, • • • фигурируют в комбинации с различными 4-векторами в виде «скалярных произведений» ')
уа = Y^n- (22,4)
Для таких произведений формулы (22,1) принимают вид
(ay) {by) -f {by) {ay) = 2 {ab), {ay) {ay) = a2, (22,5)
а формулы (22,3):
YцИ) У» = —2 {ay),
Yu (a\) {by) у» = 4 {ab),
Yu (аУ) {b\) {cy) Y^ = —2 (cy) {by) {ay),
Yu (a\) {b\) {cy) {dy) y^ = 2 [{dy) {ay) {by) {cy) -f (cy) {by) {ay) (dy)].
*) В этом издании книги мы не пользуемся каким-либо специальным обозначением для такого произведения. В литературе часто используются обозначения буквами со шляпкой или перечеркнутыми буквами.
105 ФЕРМИОНЫ [ГЛ. TII
Широко используемой операцией является взятие следа произведения некоторого числа матриц у. Рассмотрим величины
7'"-“*-'"_V1Sp(vV...v"'). (22,7)
В силу известного свойства следа произведения матриц этот тензор симметричен по отношению к циклическим перестановкам индексов |xi|x2 ...
Так как матрицы у имеют одинаковый вид в произвольной системе отсчета, величины Т также не зависят от выбора системы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через обладающий этим свойством метрический тензор
Но из тензора второго ранга можно составить лишь тензоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след произведения любого нечетного числа множителей у равен нулю. В частности, равен нулю след каждой из у'): »
Spv^O. (22,8)
След единичной четырехрядной матрицы (которая подразумевается стоящей в правой стороне перестановочного соотношения (22,1)) равен 4. Поэтому из (22,1), взяв след от обеих сторон равенства, найдем
= (22,9)
След произведения четырех матриц
7^vp = __ + g>.Pg^' (22) j 0)
Эту формулу можно получить, например, «протаскивая» в
Sp(yS’iVVp) множитель ух направо с помощью перестановочного
соотношения (22,1); после каждой перестановки возникает один из фигурирующих в (22,10) членов:
jX iivp 2g^vtrvp yi^vp g g^g40 j'V&vp
и т. д. .После всех перестановок справа остается — _ — -ptyyp^
которое переносим налево. Этим же способом вычисление следа произведения шести у сводится к следам произведений четырех множителей и т. д. Так,
yAfivpot_gXnyvpax_^XvylipaT _j_ ^XpyiivCTT_^.Xgj-nvpT | ^ЛтуЦурэ ^2 Ц)
Отметим, что все следы вещественны и что они от-
личны от нуля, лишь если каждая из матриц у0, у1, ... встре-
]) След матрицы инвариантен относительно преобразований у = UyU 1. Поэтому (22,8) очевидно и из конкретных выражений матриц (21,3).
§ 22] АЛГЕБРА МАТРИЦ ДИРАКА 107
чается в произведении четное число раз; то и другое очевидно из полученных формул. Отсюда, в свою очередь, легко заключить, что след не меняется при изменении порядка всех множителей на обратный;
= тар...ц\' (22,12)
Как уже упоминалось, множители у фигурируют обычно в виде скалярных произведений с различными 4-векторами. В таких случаях, например, формулы (22,9) и (22,10) означают, что
V4 Sp (ay) (by) = ab,
‘/4 Sp (ay) (by) (cy) (dy) = (ab) (cd) — (ac) (bd) -f (ad) (be).
Особую роль играет произведение y°y‘y2Y3- Для него принято специальное обозначение:
Y5 — — iy°yly2yP. (22,14)
Легко видеть, что
Y5Ym' + Y^Y5 = 0, (y5)2 = 1, (22,15)
т. е. матрица у5 антикоммутативна со всеми По отношению же к матрицам аир имеют место правила
aY5-Y5a = 0, Py5 + Y5P = 0 (22,16)
(коммутативность с а следует из того, что a = y°Y есть произ-
ведение двух матриц yv).
Матрица у5 эрмитова; действительно,
Y5+ = /y3+Y2+Y,+Y°+ == — / y:!y2y ^ у0,
и поскольку последовательность 3210 сводится к последовательности 0123 четным числом перестановок, то
Y5+ = Y5- (22,17)
Укажем также вид этой матрицы в двух конкретных пред-
ставлениях:
спинорное y5 = ( ~0 j ) ;
? 0 —1 \ (22,18)
стандартное у — I 0J.
След матрицы у5 равен нулю:
S Р Y5 — 0 (22,19)
(это видно и прямо из (22,18)). Равны нулю также и следы
произведений Y5Yt*Yv- Для произведений же у5 на четыре множителя имеем
