Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Спинор ранга (k, k) преобразуется при инверсии согласно
^-->± t . . (1) ь й$ ... vfl...
Такой спинор эквивалентен симметричному неприводимому 4-тензору ранга k—истинному или псевдотензору в зависимости от знака в (1).
Спиноры рангов (k,l) и (/,6), составляющие биспинор, преобразуются при инверсии согласно
k—i
При I = k + 2 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору я^ри... ранга k + 2, антисимметричному по индексам [fiv] и симметричному по всем остальным индексам. Неприводимость этого тензора означает, что он дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дуального по любым трем индексам (т. е. e^M'V0“|n,v] ра... = о); последнее условие означает, что тензор дает нуль при взятии циклической суммы по трем: индексам — nv и одному (любому) из остальных.
При / = k + 4 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору а1*й1 [vpj ат ранга k + 4 со следующими свойствами: он антисимметричен по парам индексов [Яц] и [vp], симметричен по всем остальным, симметричен по отношению к перестановке пары [Яц] с парой [vp], дает нуль прн упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дуального по любой тройке индексов.
Вообще, при I = k + 2п биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору ранга k + 2п, антисимметричному по п парам индексов и симметричному по остальным k индексам. 4-тензоры, антисимметричные по большему числу (тройкам, четверкам и т. д.) индексов, в этой классификации не появляются по очевидной причине: антисимметричный тензор третьего ранга эквивалентен (дуален) псевдовектору, а антисимметричный тензор четвертого ранга сводится к скаляру (пропорционален единичному псевдотензору e^vp); антисимметрия же по еще большему числу индексов в 4-пространстве вообще невозможна.
') Спиноры же нечетного ранга осуществляют двузначные представления группы: пространственный поворот на 360° меняет знак спиноров, так что каждому элементу группы отвечают две матрицы противоположного знака.
$ 20] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В СПИНОРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 97
§ 20. Уравнение Дирака в спинорном представлении
Частица со спином '/2 описывается в своей системе покоя двухкомпонентной волновой функцией — 3-спинором. По своему «четырехмерному происхождению» это может быть как непунктирный, так и пунктирный 4-спинор. В описании частицы в произвольной системе отсчета участвуют оба таких 4-спинора; обозначим их посредством и т]й').
Для свободной частицы единственным оператором, входящим в волновое уравнение, может быть (как уже указывалось в § 10) лишь оператор 4-импульса рц. = idц. В спинорных обозначениях этому 4-вектору соответствует операторный спинор pa^t причем
Р1! = Р& =Рг + Ро’ Р22 = Рй=Ро~ Рг*
Р!*=-Р2\ = Р,-*Ру Р21 = - Р12 = РХ + {Ру
Волновое уравнение представляет собой линейную дифференциальную связь между компонентами спиноров, осуществляемую с помощью оператора ра^. Требование релятивистской инвариантности фиксирует следующую систему уравнений:
= т^’ Р^ = т\ (20>2)
где т — размерная постоянная. Вводить в эти два уравнения различные постоянные Шх и т2 (или же изменить знак перед т) было бы бессмысленно, так как надлежащим переопределением
или т]й уравнения все равно могли бы быть приведены к прежнему виду.
Исключим из уравнений (20,2) один из двух спиноров, подставив т]^ из второго уравнения в первое:
Но согласно (18,4) ра^р^ — р2б“, так что получаем
(р2-т2)1у = 0, (20,3)
откуда видно, что т — масса частицы.
Обратим внимание на то, что необходимость введения массы в волновое уравнение требует одновременного рассмотрения
‘) Трехмерный спинор первого ранга может «происходить» также от 4-спиноров более высоких нечетных рангов, которые в системе покоя становятся антисимметричными по одной или нескольким парам индексов. Такие варианты, однако, привели бы к уравнениям более высоких порядков (ср. примеч. на с. 53).
98
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. III
двух спиноров (|° и т]й): с помощью лишь одного из них нельзя составить релятивистски инвариантное уравнение, которое содержало бы какой-либо размерный параметр. Тем самым волновое уравнение автоматически оказывается инвариантным относительно пространственной инверсии, если определить преобразование волновой функции как
Р-. 6“-^, (20,4)
Легко видеть, что при такой замене (и одновременной замене ра$-+рф очевидной из формул (20.1)) два уравнения (20,2) переходят друг в друга. Два спинора, переходящих друг в друга при инверсии, составляют четырехкомпонентную величину — биспинор.
Релятивистское волновое уравнение, изображаемое системой
(20,2), называется уравнением Дирака (оно было установлено Дираком в 1928 г.). Для дальнейшего исследования и применения этого уравнения рассмотрим различные формы, в которых оно может быть представлено.
С помощью формулы (18,6) переписываем уравнения (20,2) в виде
[ро + рсг) л = ml, (ро — per) t = тц. (20,5)
Здесь символы g и т] обозначают двухкомпонентные величины — спиноры
М!0' "ЧУ (2ад
(первый — с верхними, а второй — с нижними индексами), а при умножении матриц а на любую двухкомпонентную величину f здесь и ниже всегда подразумевается умножение по обычному матричному правилу
