Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
к = ±1, а роль соответствующих играют трехмерные векторы е(±1>
(8,2).
*) Здесь 5-функция б<2) определена так, что J б<2* (v— n) doy—l. В (16,2)
(и в аналогичном случае ниже, см. (16,4)) опущена 6-функция, обеспечивающая заданное значение энергии.
СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
79
Более подробно это выражение надо было бы написать в виде Фпх <v* ст) = w(c (v)б<2) (v “ n)> где явно указана также и дискретная независимая переменная а.
Оператор спиральности sn коммутативен с операторами )г и j2. Действительно, оператор момента связан с бесконечно малым поворотом системы координат, а скалярное произведение двух векторов инвариантно по отношению к любому повороту. Поэтому существуют стационарные состояния, в которых частица обладает одновременно определенными значениями момента /, его проекции /г = т и спиральности К. Будем называть такие состояния сферическими спиральными состояниями.
Определим волновые функции этих состояний в импульсном представлении. Это можно сделать непосредственно по аналогии с полученными в III, § 103 формулами для волновых функций симметричного волчка. Они были получены там на осНованйи формул для преобразования волновых функций при конечных вращениях (см. III, § 58). Последние, в свою очередь, основаны только на свойствах симметрии по отношению к вращениям; поэтому они применимы к функциям в импульсном представлении в той же мере, как и к координатным функциям.
Наряду с фиксированной в пространстве системой координат xyz (по отношению к которой записываются функции i^/mx), введем также «подвижную» систему с осью ? вдоль направления v. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. вывод формулы III (103,8)), напишем
где ^ — волновая функция в «подвижной» системе координат, описывающая состояние частицы с определенным значением ^-проекции момента: jz = А; в импульсном представлении эта функция совпадает, очевидно, с амплитудой «(Ч Нормированная (см. ниже) волновая функция
V3Sr^w““,(k)- (1М)
Здесь возникает, однако, вопрос о выборе фаз, связанный со следующей неоднозначностью. Поворот системы координат |т|? относительно xyz определяется тремя углами Эйлера а, р, y; направление же v, от которого только и может зависеть волновая функция частицы, зависит лишь от двух сферических углов а ф, ра0. Поэтому надо условиться о каком-либо выборе
угла у. Будем полагать у = 0, т. е. определим Dldi (v) как
См = <(ф, е, 0) = elmvd*i[m (0). (16,5)
^0
БОЗОНЫ
[ГЛ. 11
В силу III (58,21) функции (16,5) удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки:
jC(v)ol!l(v)^ = 2irr6^6m'm’ (16>6)-
(dov = sin 0 dB dqi). Ортогональность же функций \J?/mx по индект су X обеспечивается множителем «(Ч Таким образом, функции ортогональны, как и должно быть, по всем индексам jmh, а при выбранном в (16,4) коэффициенте они нормированы условием
5 I Ф/тЛ I2 do4 = 1. (16,7)
При этом предполагается, что амплитуды и(К) нормированы на единицу: и(к)ит* = 1.
Рассмотрим поведение волновых функций спиральных состоянии по отношению к инверсии координат. Произведение полярного вектора v на аксиальный вектор j —псевдоскаляр. Поэтому ясно, что в результате инверсии состояние со спиральностью X переходит в состояние с —Я; надо лишь определить фазовые множители в этих преобразованиях.
При инверсии v->—v. Вектор v определяется двумя углами Ф, 0, и преобразование v-*—v осуществляется заменой
<р ->- <р -|- л, 0 я — 0. Тем самым фиксируется ось ?, но остается
неопределенным положение осей | и г), зависящее также и от третьего угла Эйлера у; преобразование одних только 0 и ф не дает возможности различать в этом смысле инверсию системы координат от поворота оси ?. В терминах всех трех углов Эйлера' инверсия есть преобразование
а = ф->ф-)-л;, р=0->л—0, у->п — у. (16,8)
Поэтому, если Dlm(v) определено согласно (16,5) (т. е. с у=0), а замена v-> — v подразумевается как результат инверсии, то
Dim (— V) = Dfm (ф + Я, Л — 0, Л). (16,9)
С помощью формул III (58,9), (58,16), (58,18) находим поэтому DZ (- v) = (Я - 0) еш (<р+л) =
= (-iy-beimd%m(Q) = (-l)l-*D<l{m(4>, 0, 0),
или
(- V) = (-1)-" D(l{m (V) (16,10)
(/—-Я— целое число).
Аналогичную формулу для спинора ву(х) можно получить, заметив, что его компоненты совпадают, с точностью до
519] СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ 81
множителя, с функциями
(v) СО Dxa (v)\ (16,11)
Действительно, применив формулу преобразования III (58,7) к собственным функциям спина и положив, что его ^-проекция имеет определенное значение К (т. е. заменив в правой стороне III (58,7) г|5/т< на бт/Х), мы найдем, что ^sJ(v)— спиновые волновые функции, отвечающие определенным значениям его г- и ?-проекций (ст и К). Совокупность этих функций (а = —s, ... ..., -fs) составляет (по формулам соответствия III (57,6)) кО-вариантный спинор ранга 2s. Компоненты же контравариантного спинора (которым по формулам III (57,2) отвечают компоненты о/0Х)) преобразуются как комплексно-сопряженные от компонент ковариантного спинора того же ранга.
Из (16,10—11) имеем
о*«(—v) = (—l)*“*oK-«'(v) . (16,12)
(s —Я —целое число). Операция инверсии в применении к состоит однако не только в замене v->—v, но и в умножении на общий фазовый множитель («внутренняя четность» частицы), который мы обозначим п:
