Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
5 — ch у — no sh у, thy = V. (18,14)
Отметим, что матрицы В преобразований Лоренца оказываются эрмитовыми: В = В+.
Рассмотрим теперь бесконечно малый поворот пространственной системы координат. При этом трехмерный вектор а преобразуется согласно
а' = а — [68а], (18,15)
') Напомним, что в плоскостях, содержащих ось времени, метрика псевдоевкл идова.
ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ
91
где 60 — вектор бесконечно малого угла поворота. Соответствующее преобразование спинора можно было бы найти аналогичным образом. В этом* однако, нет необходимости, так как во отношению к пространственным поворотам поведение 4-сииноров совпадает с поведением 3-спиноров, а для последних преобразование известно заранее из общей связи оператора спина с оператором бееконечо малого поворота:
В=1+±об0. (18,16)
Переход к повороту на конечный угол 0 производится аналогично переходу от (18,12) к (18,14):
В = exp =cos ino sia-|-> (18,17)
где и — орт оси вращения. Эта матрица унитарна (В+= В~1), как и должно быть для пространственного поворота.
§ 19. Инверсия спиноров
При изложении (в т. III) трехмерной теории спиноров мы не рассматривали их поведения по отношению к операции пространственной инверсии, поскольку в нерелятивистской теории это не привело бы к каким-либо новым физическим результатам. Остановимся, однако, теперь на этом вопросе для лучшего уяснения последующего рассмотрения инверсионных свойств 4-спиноров.
Операция инверсии не меняет знака аксиального вектора, каковым является вектор спина. Поэтому не меняется и значение его проекции sz. Отсюда следует, что при инверсии каждая из компонент спинора может преобразовываться только через саму себя, т. е. должно быть
¦фа->Р11)а, (19,1)
где Р — постоянный коэффициент. Произведя инверсию дважды, мы вернемся к исходной системе координат. В случае спиноров, однако, возвращение к начальному положению можно понимать в двух различных смыслах: как поворот системы на 0° или на 360°. Для спиноров эти два определения не эквивалентны, так как i|)“ меняют знак при повороте на 360°. Таким образом, возможны две альтернативные концепции инверсии: в одном случае
а в другом
/>2 = 1, р=±1, P2 = -l, P = ±i.
(19.2)
(19.3)
92
ФЕРМИОНЫ
[гл in
Существенно при этом, что понятие инверсии должно быть определено одинаково для всех спиноров. Недопустимо, чтобы различные спиноры вели себя при инверсии различным образом (согласно (19,2) или (19,3)), так как тогда не из всяких двух спиноров можно было бы построить скаляр (или псевдоскаляр): если бы спинор tfa преобразовывался согласно (19,2), а <р“ — согласно (19,3), то величина ^афа умножилась бы при инверсии на ±г вместо того, чтобы оставаться неизменной (или менять только знак).
Следует также подчеркнуть, что (при любом определении инверсии) приписывание спинору той или иной четности Р не имеет абсолютного смысла, поскольку спиноры меняют знак при повороте на 2л, который всегда можно произвести одновременно с инверсией. Абсолютный характер, однако, имеет «относительная четность» двух спиноров, определяемая как четность составленного из них скаляра ^афа; поскольку при,повороте на 2я меняют знак одновременно все спиноры, связанная с этим неопределенность не отражается на четности указанного скаляра.
Обратимся теперь к четырехмерным спинорам.
Отметим прежде всего, что поскольку инверсия меняет знак лишь трех (х, у, z) из четырех (/, х, у, z) координат, она коммутативна с пространственными вращениями, но Не коммутативна с преобразованиями, поворачивающими ось /. Если С есть преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся со скоростью V, то PL—L'P, где L' — преобразование к системе, движущейся со скоростью —V.
Отсюда следует, что при инверсии компоненты 4-спинора не могут преобразовываться через самих себя. Если бы инверсия спинора заключалась по-прежнему в преобразовании
(19,1) ("г. е. изображалась бы матрицей, пропорциональной единичной матрице), то она коммутировала бы со всеми вообще преобразованиями Лоренца, чего заведомо не должно быть (так как операции L и L'в применении к ?“ заведомо не совпадают).
Таким образом, инверсия должна преобразовывать компоненты спинора ?“ через другие величины. Таковыми могут быть лишь компоненты некоторого другого спинора ту1, не совпадающего по своим трансформационным свойствам с Поскольку инверсия не меняет (как уже отмечалось выше) г-проекции спина, компоненты ?' и ?2 могут перейти при инверсии лишь в компоненты т]. и тц> отвечающие тем же значениям s2 = 1/2 и
s2 == 1 /2. Понимая под инверсией операцию, дающую 1 при
двукратном повторении, можно определить ее действие формулами
л4-^а.
(19,4)
ИНВЕРСИЯ спиноров
93.
Для ковариантных компонент ?а и контравариантных т)й эти преобразования имеют обратный знак:
1а-+-ч\ (19,4а)
так как опускание и поднимание одного и того же индекса происходит с различными знаками, см. (17,5) и (17,9) '). Если же инверсия понимается в таком смысле, что Р2 = —1, то ее действие определяется формулами
44->i|e (19.5)
или, что то же,
So-* — *Ча, Чй~+ — %а. (19,5а)
Некоторое различие в характере двух определений инверсии состоит в том, что при втором определении комплексно-сопряженные спиноры преобразуются одинаково: если За = Т1Л, Hd =
