Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
= ?“*> то из (19,5) будем иметь За—/Н*, Н*—/За, т. е. такое же правило, как и для ?а, ц*. При определении же (19,4)
мы получили бы преобразование За-> Нй, Н*-> Зц, обратное по
знаку преобразованию спиноров ц4. К возможным физическим аспектам этого различия мы вернемся в § 27.
Ниже будем для определенности везде подразумевать определение (19,5).
По отношению к подгруппе вращений спиноры ?“ и преобразуются, как мы знаем, одинаково. Образовав из их компонент комбинации
Iе ±V (19-6>
мы получили бы величины, преобразующиеся при инверсии согласно (19,1) с Р = ±t. Эти комбинации, однако, не ведут себя как спиноры по отношению ко всем преобразованиям группы Лоренца.
Таким образом, включение инверсии в группу симметрии требует одновременного рассмотрения пары спиноров (?“, ri4)> такую пару называют биспинором первого ранга). Четыре компоненты биспинора реализуют одно из неприводимых представлений расширенной группы Лоренца.
') Определение (19,4), конечно, в известном смысле условно, что связано с независимостью величин |“ и т|4. Так, введя вместо г)л новый спинор т)^ = е*получим вместо (19,4) эквивалентное определение:
6 -> в т|л, Чй -> е | .
94 фермионы (гл hi
Скалярное произведение двух биспиноров (|а, Т1Й) и (На, Н4) может быть образовано двумя способами. Величина
iX + nX (19,7)
при инверсии вообще не меняется, т. е. является истинным скаляром. Величина
1Ч-Ч4На (19,8)
тоже инвариантна по отношению к поворотам 4-системы координат, но меняет знак при инверсии; другими словами, она является псевдоскаляром.
Двумя способами может быть определен также и спинор
второго ранга Определив его законом преобразования
?в*~6вН* + гУ, (19,9)
мы получим величины, преобразующиеся при инверсии согласно
(19,10)
При этом 4-вектор а11, которому эквивалентен такой спинор, преобразуется (в соответствии с формулами (18,1)) согласно .(а0, а) ->¦ (а°, —а), т.е. является истинным 4-вектором (а трехмерный вектор а — полярным вектором).
Можно, однако, определить также и согласно
gaH* _ 5У • (19,1!)
Тогда *)
(19,12)
Такому спинору соответствует 4-вектор, для которого инверсия означает преобразование (а0, а)->(—а0, а), т. е. 4-псевдовектор (трехмерный же вектор а аксиален).
Симметричные спиноры второго ранга с индексами одинакового типа определяются законами преобразования:
lap~fs(4ip3a, л,~пД-МД. <19.13)
При инверсии они переходят один в другой:
П* (19,14)
’) Подчеркнем, что законы преобразований (19,10) и (19,12), различающиеся знаком в правой стороне, отнюдь не эквивалентны, поскольку
в обеих их сторонах стоят компоненты одного и того же спинора (ср. примеч.
на с. 93).
ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ
95
Пара образует биспинор второго ранга. Число его
независимых компонент равно 3 + 3 = 6. Столько же независимых компонент имеет антисимметричный 4-тензор второго ранга а^у. Поэтому между тем и другим должно существовать определенное соответствие (оба реализуют эквивалентные неприводимые представления расширенной группы Лоренца).
Поскольку по отношению к собственной группе Лоренца спиноры и т]й? преобразуются независимо, то и из компонент 4-тензора aмогут быть составлены две группы величин, преобразующихся только друг через друга при всех поворотах 4-снстемы координат. Это разбиение осуществляется следующим образом.
Введем трехмерный полярный вектор р и трехмерный аксиальный вектор а, связанные с компонентами 4-тензора awv согласно
^v = ( ~р* I “"Ыр, а) (19,15)
0 Рх Ру Pz
— Рх 0 — а2 Gy
~Ру аг 0 — ах
— Pz ау ах 0
((р, а)—краткое обозначение, которое мы будем применять для перечисления компонент такого тензора). При этом = = (—р, а), а из двух величин
аа — р2 = -j a(lvalw, ap = -^<?(ivpaa^apa
первая является скаляром, а вторая псевдоскаляром; по отношению к собственной группе Лоренца тот и другой одинаково инвариантны. Вместе с ними инвариантны также и квадраты трехмерных векторов f* = р ± ?а. Это значит, что всякий поворот в 4-пространстве для векторов f* эквивалентен «повороту» в трехмерном пространстве, вообще говоря, на комплексные углы (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три комплексных «угла поворота» трехмерной системы). Операция же пространственной инверсии, меняя знак р (но не а), переводит векторы f+ и —f~ друг в друга. Компоненты этих векторов и составляют искомые две группы величин, образованных из компонент тензора а^.
Тем самым становится очевидным также и соответствие ме-
с. ар
жду компонентами 4-тензора a^v и спиноров ь , Поскольку в группу Лоренца входят в качестве подгруппы пространственные вращения, соотношения между компонентами спинора н компонентами трехмерного вектора должны быть такими же,
96
ФЕРМИОНЫ
(ГЛ ш
(19,16)
как для трехмерных спиноров:
=у(&22 —I11), =у(122 + 111), fz = I12;
C=4(Tin-T>ii> C=i"(T1is“h4i i>' ^=v
Задача
Установить общее соответствие между спинорами четного ранга и 4-тензорами.
Решение. Все спиноры с четными k +1 реализуют однозначные Неприводимые представления расширенной группы Лоренца и поэтому эквивалентны 4-тензорам, реализующим такие же представления *).
