Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
PwM(v) = r\ww(— v) = г] (— l)s-A,a/-A,)(v). (16,13)
Для релятивистской же амплитуды «W(k) это преобразование запишется в виде
Ры<м (k) = (- к) = ц (-1)1"* uf-» (к), (16,14)
где р — некоторая матрица, единичная по отношению к компонентам ы(Ч остающимся в пределе |р|-»-0. Важно, что эта матрица не зависит от квантовых чисел состояния, и в этом смысле разница между (16,13) и (16,14) несущественна ’)• Применив (16,14) к (16,2), получим закон преобразования волновых функций состояний J пЛ,):
^(v) = Tl(-Ds“4_n_,(v). (16,15)
Для сферических спиральных состояний, воспользовавшись
(16,10) и (16,12), получим закон преобразования:
(v) = л (— 1)/-S (v)- (16,16)
‘) Так, для s = 1 амплитуды — 4-векторы (16,22); при этом р— полностью единичная матрица по 4-векторным индексам: P(iv = 6(xv- Для
s = '/г (как мы увидим в следующей главе) и1^ — биспинор; при этом фа-зовый множитель т) = », а р —матрица Дирака у° (см. 21,10)).
82 БОЗОНЫ [ГЛ. IJ
Состояния преобразуются, согласно (16,16), сами через себя, т. е. обладают определенной четностью. Если же X ф О, то определенной четностью обладают лишь суперпозиции состояний с противоположными спиральностями:
(16,17)
При инверсии они преобразуются сами через себя согласно
Р$т1 К \ (V) = ± Г) (— \i~* Ф/ml К | (v). (16,18)
Обратим внимание на то, что мы произвели в этом параграфе классификацию состояний свободной частицы с заданным моментом, оперируя только с сохраняющимися величинами и не прибегая к понятию орбитального момента (использованного, например, в § 6, 7 для классификации состояний фотона).
В качестве примера рассмотрим случай спйна 1. В системе покоя амплитуды (4-векторы) сводятся к трехмерным векторам которые и играют здесь роль амплитуд ww. Действие оператора спина 1 на векторную функцию е дается формулой
(5|е)й = — ieMe, (16,19)
(см. III, § 57, задача 2). Поэтому уравнение (16,1) принимает вид
/ [ne<*->] = (16,20)
Его решения (в системе координат с осью % вдоль п) совпадают с циркулярными ортами (7,14) '):
e<°) = i(0I 0, 1), е<*» = :р-^г(1, ±г, 0). (16,21)
В системе отсчета, где частица имеет импульс р, амплитуды спиральных состояний — 4-векторы
Ц(0)^==^М) -iLe<0>), «<±‘>“ = (0, е(±1>). (16,22)
Если е — полярный вектор, то г)=—1. Тогда функции (16,17) (при s=l — трехмерные векторы) имеют следующие четности;
1|№м: Р = timW P = (~Dl+l,
Ч1/тО •• Р = (— 1)У-
') Выбор фазовых множителей фиксируется требованием, чтобы вычисленные с помощью собственных функций (16*21) матричные элементы операторов спина отвечали общим определениям в III, § 27, 107.
§ 16] СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ 83
Сравнивая с определением шаровых векторов (7,4), мы видим, что эти функции тождественны (с точностью до фазовых множителей) соответственно с Y(/%, Y/m, YОпределив фазовые множители (скажем, путем сравнения значений при 0 = 0), получим следующие равенства:
v<9> »/m II T
¦v(M) »/m II T
II «4. 7
/ + 1 8л
— целое число /); e(Ar = [ne(W] — циркулярные орты в осях I'Ve повернутых относительно |т)? на 90° вокруг оси g.
Последняя из формул (16,23) эквивалентна выражению
III (58,23) для rfom(9). Из первой же (или второй) формулы можно получить простое выражение для функций Имеем
-/-1 . /21+ 1 ^(Л vO)_<±ir 1 _(±l)*t7v
‘ “VTo+TT
Скалярное произведение в правой стороне равенства раскрываем в системе |т]?, причем
/ д д N / д 1 д \
Ч • дц / ~ V <J0 * sin 0 дф / ’
Вспомнив определение (7,2) функции Y]m и определение (16,5), получим в результате
(в)=(-ir1 ± ж+тет)<«» *>¦
т> 0. (16,24)
ГЛАВА MI
ФЕРМИОНЫ
§ 17. Четырехмерные спиноры
В нерелятивистскдй теории частица с произвольным спином s описывается (2s + 1)-компонентной величиной — симметричным спинором ранга 2s. С математической точки зрения это —величины, реализующие неприводимые представления группы пространственных вращений.
В релятивистской теории эта группа выступает лишь как подгруппа более широкой группы четырехмерных вращений — группы Лоренца. В связи с этим возникает необходимость в построении теории четырехмерных спиноров (4-спиноров) —величин, осуществляющих неприводимые представления группы Лоренца; её изложению посвящены § 17—19. При этом в § 17, 18 рассматривается лишь собственная группа Лоренца, не содержащая пространственной инверсии; последняя будет рассмотрена в § 19.
Теория 4-спиноров строится аналогично теории трехмерных спиноров (В. L. van der Waerden, 1929; G. E. Uhlenbeck, 0. La-porte, 1931).
Спинор есть двухкомпонентная величина (a = 1, 2); как компоненты волновой функции частицы со спином '/2 ?* и I2 отвечают собственным значениям z-проекции спина, равным соответственно +*/2 и —*/2. При всяком преобразовании (собственной) группы Лоренца две величины ?2 преобразуются друг через друга:
1У = с?‘ + р?2, ? = + &?. (17,1)
Коэффициенты а, р, у, б — определенные функции углов поворота 4-системы координат, подчиненные условию
а6-ру=1. (17,2)
т. е. определитель бинарного преобразования (17,1) равен 1, как и определители преобразований координат в группе Лоренца.
В силу условий (17,2) билинейная форма g'S2 — ^S1 (где ?u и Ea—два спинора) инвариантна относительно преобразования
