Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(17,1) (она отвечает частице со спином 0, «составленной» из
двух частиц со спином ‘/г). Для естественной записи таких ин-
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СПИНОРЫ
85
вариантных выражений наряду с «контравариантными» компонентами спинора вводятся также и «ковариантные» компоненты %а. Переход от одних к другим совершается с помощью «метрического спинора» ga$ '):
(17,3)
где
= о)'
так что
h = t\ h = -ll. (17,5)
Тогда инвариант §*32 — ?23‘ записывается в виде скалярного произведения Еа2а. При этом ?aEa = —?а2а.
До сих пор перечисленные свойства формально совпадали со свойствами трехмерных спиноров. Разница, однако, возникает при рассмотрении комплексно-сопряженных спиноров.
В нерелятивистской теории сумма
г])1!])1* -}¦ (17,6)
определяющая плотность вероятности локализации частиц в пространстве, должна была быть скаляром, а для этого компоненты г|э“* должны были преобразовываться как ковариантные компоненты спинора; другими словами, преобразование (17,1) должно было быть унитарным (а = б*, р = —у*). В релятивистской же теории плотность частиц не является скаляром; она
представляет собой временную компоненту 4-вектора. В связи с этим указанное требование отпадает и на коэффициенты преобразования не накладывается теперь никаких дополнительных (помимо (17,2)) условий. Четыре комплексные величины а, |3, у, 6 при одном лишь условии (17,2) эквивалентны 8 — 2 = 6 вещественным параметрам — в соответствии с числом углов, определяющих вращение 4-системы координат (повороты в шести координатных плоскостях).
Таким образом, комплексно-сопряженные бинарные преобразования оказываются существенно различными, так что в релятивистской теории существует два типа спиноров. Чтобы различить эти типы, приняты специальные обозначения: индексы спиноров, преобразующихся по формулам, комплексно-сопряженным формулам (17,1), записываются в виде цифр с точками над ними (пунктирные индексы). Таким образом, по определению,
Т)Й~Г’, (17,7)
’) Спинорные индексы будем обозначать первыми буквами греческого алфавита: а, Ц, ...
86
ФЕРМИОНЫ
1ГЛ. ш
где знак ~ означает «преобразуется как». Другими словами, формулы преобразования «пунктирного» спинора:
г)1' = а'г)1 + PV, Л2" = Y*V + (17,8)
Операции опускания и поднимания пунктирных индексов производятся так же, как и для непунктирных индексов:
Л j = Л2> Л^= —Л1- (17,9)
По отношению к пространственным вращениям поведение 4-спиноров совпадает с поведением 3-спиноров. У последних, как мы знаем, Б силу определения (17,7) 4-спинор ti4
ведет себя, следовательно, при вращениях как контравариант-ный 3-спинор ф“. Собственным значениям проекции спина у2 и —Vz соответствуют поэтому ковариантнце компоненты щ и T|j.
Спиноры высших рангов определяются как совокупности величин, преобразующихся как произведения компонент нескольких спиноров первого ранга. При этом среди индексов спинор-а высшего ранга могут быть как пунктирные, так и ве-пунктирные. Например,, существует три тияа спиноров второго ранга:
~ laSS, ?а*~1атД ~ т,йН*
Тем самым указание одного лишь полного ранга спинора недостаточно для однозначного определения этого понятия; мы будем поэтому ири необходимости указывать ранг в виде нары чисел (It, I) — числа непунктирных и числа пунктирных индексов.
Поскольку преобразования (17,1) н (17,8) алгебраически независимы, нет необходимости фиксировать последовательность пунктирных и непунктирных индексов (в этом смысле, например,
спиноры и — одно и то же).
Для того чтобы иметь инвариантный характер, всякое спи-норное равенство должно содержать с обеих сторон одинаковое число непунктирных и пунктирных индексов; в противном случае оно заведомо нарушится при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом надо помнить, что комплексное сопряжение подразумевает замену пунктирных индексов непунктирными и наоборот. Поэтому имеет инвариантный характер
соотношение лй^ = (1аР)* между двумя спинорами.
Свертывание спиноров или их произведений может производиться лишь по парам индексов одинакового рода — двум пунктирным или двум непунктирным. Суммирование же по паре
СВЯЗЬ СПИНОРОВ С ЛЕКТОРАМИ
87
индексов различного рода — не инвариантная операция. Поэтому из спинора
<17,10)
симметричного по всем k непунктирным и по всем I пунктирным индексам, нельзя образовать спинор более низкого ранга (напомним, что упрощение по паре индексов, относительно которых спинор симметричен, дает в результате нуль). Это значит, что из величин (17,10) нельзя составить меньшего числа каких-либо их линейных комбинаций, которые бы преобразовывались друг через друга при всех преобразованиях группы. Другими словами, симметричные 4-спиноры реализуют неприводимые представления собственной группы Лоренца. Каждое неприводимое представление задается парой чисел (k, I).
Поскольку каждый спинорный индекс пробегает два значения, имеется k + 1 существенно различных наборов чисел
aicc2... а*, в (17,10) (содержащих 0, 1,2.........k единиц и k,
k—1........0 двоек) и /+1 наборов чисел Р1Р2 • • • Р/- Всего,
следовательно, симметричный спинор ранга {k, I) имеет (& + 1) (/ + 1) независимых компонент; это и есть размерность осуществляемого им неприводимого представления.
