Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
*) Идея о возможном несохраненяи четности в слабых взаимодействиях была впервые высказана Ли и Янгом (Т. D. Lee, С. N. Yang, 1956). Ещё раньше общая мысль о необязательности Р- и Г-инвариантности физических законов была высказана Дираком (1949).
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1
71
Требования же Р- или Т-инвариангности (если таковые соблюдаются) ограничивают свойства уже каждой из частиц: они запрещают существование у частицы электрического диноль-ного момента. Действительно, единственный вектор, который можно построить для покоящейся элементарной частицы из ее ¦ф-операторов, — это вектор оператора ее спина. Этот вектор P-четен и Г-нечетен; он может поэтому определять только магнитный, но не электрический момент. Подчеркнем, что для этого запрета достаточно требования уже лишь одной Р- или Г-инвариантности.
Задача
Определить зарядовую и пространственную четности системы, состоящей из частицы со спином 0 и ее античастицы, с орбитальным моментом I относительного движения.
Решение. Перестановка координат частиц эквивалентна инверсии (относительно центра инерции) и поэтому умножает орбитальную функцию на {—1)*; перестановка зарядовых переменных эквивалентна зарядовому сопряжению и умножает «зарядовый» множитель в волновой функции иа искомое С. Из условия С (— 1)г=1 имеем
С = (—I)1.
Пространственная четность системы Р есть произведение орбитальной четности и внутренних четностей обеих частиц. Поскольку внутренние четности частицы и античастицы одинаковы, то в данном случае Р совпадает с орбитальной четностью: Р = (—1) .
§ 14. Волновое уравнение для частицы со спином 1
Частица со спином 1 описывается в ее системе покоя трехкомпонентной волновой функцией — трехмерным вектором (о такой частице часто говорят как о векторной). По своему четырехмерному происхождению это могут быть три пространственные компоненты 4-вектора (пространственноподобного) или же смешанные компоненты антисимметричного 4-тензора второго ранга tpv, у которых в системе покоя обращается в нуль временная (-ф0) н пространственные (if**) компоненты1).
Волновое уравнение — дифференциальная связь между величинами —устанавливается соотношениями, которые мы
запишем в виде
=== /M>V (14,1)
= ^nv, (14,2)
') Забегая вперед, укажем, что совокупности 4-вектора фц и 4-тензора ф4* отвечает совокупность четырехмерных спиноров второго ранга ,
к)^, причем ?“0 и т)^ — симметричные спиноры, переходящие друг
в друга при инверсии (см. § 19).
72
БОЗОНЫ
{ГЛ. II
где р = id (Л. Ргоса, 1936). Применив к обеим сторонам уравнения (14,2) операцию р», получим (ввиду антисимметричности \|3цу)
Р% = 0. (14,3)
Из (14,1—2) можно исключить т|)цУ, подставив первое уравнение во второе. Учитывая (14,3), получаем
(Р2~т2)% = 0, (14,4)
откуда снова (ср. § 10) видно, что т — масса частицы. Таким
образом, свободную частицу со спином 1 можно описывать всего
одним 4-вектором 1|з^, компоненты которого удовлетворяют уравнению второго порядка (14,4), а также и дополнительному условию (14,3), исключающему из ф*1 часть, принадлежащую спину 0.
В системе покоя, где т|)ц не зависит от пространственных координат, найдем, что /5°i|)o = 0. Поскольку в то же время р°1|>о = m-фо, мы видим, что в системе покоя т|)0 = 0, как и должно быть. Вместе с 1|з0 обращаются в нуль также и -ф/*.
Частица со спином 1 может обладать различной внутренней четностью — в зависимости от того, является ли тр истинным вектором или псевдовектором. В первом случае
PV = W, —V).
а во втором
Р'1>й = (—V, V)*
Уравнения (14,1—2) могут быть получены из вариационного принципа с лагранжианом:
L = i|Vvi|^v* — y i|^v*(<Vl>v—dvi|>n)— 4 V*v (dn^v—dvi|v)+ m2a|va|^\
(14,5)
Роль независимых обобщенных координат играют в нем 'рц, l|Vv, 'Фцу *)•
Для нахождения тензора энергии импульса формула (10,11) в данном случае не вполне удобна, так как она привела бы к несимметричному тензору, который нуждался бы еще в дополнительной симметризации. Вместо этого можно воспользоваться
формулой __
1 Т ,/Т д дл/^-gL , д L еч
-т„Ы-е—7?~вл -+ — г - (|4’6>
‘) Если бы мы производили варьирование только по трц (предполагая заранее выраженными через согласно (14,1)), то уравнение (14,3) должно было бы вводиться как дополнительное условие, не связанное с вариационным принципом.
§ 141 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1 73
в которой предполагается, что L выражено в виде, относящемся к произвольным криволинейным координатам (см. II, § 94). Если L содержит только компоненты самого метрического тензора (но не их производные по координатам), то формула упрощается:
г _ 2 д л/^g L п dL „ ,
^ - v=7 dg^ ~
(напомним, что ding = —g^vdg^).
Поскольку дифференцирование в формуле (14,6) производится не по величинам т])ц, i])nv, при ее применении необязательно считать эти величины независимыми; можно сразу воспользоваться связью (14,1) и переписать лагранжиан (14,5) в виде
L = — ^ (14>7)
Тогда
Tuv = — 'IW'N** — + m (il)^v + i^v^n) +
+ ^nv (t ’М,Хр* — /»2Ч>1Ч>Х) • (14,8)
В частности, плотность энергии дается существенно положительным выражением
