Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Лагранжиан, тензор энергии-импульса и вектор тока для поля частиц со спином s отличаются от (15,1—3) лишь заменой на ’Кц...'
Нормированная плоская волна:
^-=-±ru'lv-e-ipx, = -1, (15,7)
причем амплитуда волны удовлетворяет условиям
и-“”>и = 0. (15,8)
Имеется 2s -f- 1 независимых состояний поляризации.
Квантование поля производится очевидным обобщением случаев спина 0 или 1.
Изложенная схема вполне достаточна для поставленной цели — описания поля свободных частиц. Иное дело, если ставить задачу об описании взаимодействия частиц с электромагнитным полем. Это взаимодействие должно было бы вводиться в лагранжиан, из которого все уравнения могли бы быть получены без необходимости постановки дополнительных условий. Однако фактически оказывается, что такое описание взаимодействия
§16]
СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
77
применимо только для электронов — частиц со спином 1/% (см. § 32). Поэтому для других спинов эта задача могла бы иметь лишь методический интерес.
Отметим, что для всех (целых и полуцелых) спинов s > 1 оказывается невозможным сформулировать вариационный принцип с помощью одной только функции (тензорной или спинор-ной), ранг которой соответствует данному спину. Для этой цели оказывается необходимым ввести в качестве вспомогательных также тензорные или спинорные величины более низкого ранга. При этом лагранжиан подбирается таким образом, чтобы эти, вспомогательные величины автоматически обращались в нуль в силу следующих из вариационного принципа уравнений поля свободных частиц *).
§ 16. Спиральные состояния частицы2)
В релятивистской теории орбитальный момент 1 и спин s движущейся частицы не сохраняются каждый в' отдельности. Сохраняется лишь полный момент j = 1 + s. Не сохраняется поэтому и проекция спина на какое-либо заданное направление (ось г), и поэтому эта величина не может служить для перечисления поляризационных (спиновых) состояний движущейся частицы.
Сохраняется, однако, проекция спина на направление импульса: поскольку 1 = [гр], то произведение sn совпадает с сохраняющимся произведением jn (п = р/|р|). Эту величину называют спиральностью3) (мы уже рассматривали ее для фотона в § 8). Ее собственные значения будем обозначать буквой А, (X — —s, ..., +s), а состояния частицы с определенными значениями X будем называть спиральными состояниями.
Пусть ¦фрл — волновая функция (плоская волна), описывающая состояние частицы с определенными р и X, а и(Л)(р)—ее амплитуда; для краткости обозначений мы не выписываем индексы компонент этой функции (для целого спина это — 4-тен-зорные индексы).
Мы видели в предыдущих параграфах, что при релятивистском описании частиц с отличным от нуля (целым) спином приходится вводить волновую функцию с числом компонент, превышающим 2s + 1. Однако число независимых компонент при этом остается равным 2s + 1; «лишние» компоненты устраняются наложением дополнительных условий, в силу которых эти
¦) См. Fierz М., Pauli WJIProc. Roy. Soc.— 1939. — Vol. А 173. — P. 211. В этой работе указанная программа проведена для частиц со спином % и 2.
г) Содержание этого параграфа относится к частицам с любым (целым или полуцельгм) спином.
3) В английской литературе — helicity.
78
БОЗОНЬ)
[ГЛ. II
компоненты обращаются в нуль в системе покоя (в следующей главе мы увидим это же для пол у целых s).
Согласно формулам преобразования момента (см. II, § 14) спнральность инвариантна относительно преобразований Лоренца, не меняющих направления р, на которое проецируется момент. Поэтому число X сохраняет при таких преобразованиях свой смысл квантового числа, и для изучения свойств симметрии спиральных состояний можно воспользоваться системой отсчета, в которой импульс |р| <С т (в пределе — системой покоя). Тогда сведется к нерелятивистской (2s + I)-компонентной волновой функции. Обозначим ее амплитуду через ш(А*(п), указав в качестве аргумента направление п = р/|р|, вдоль которого квантуется момент. Амплитуда w(K) — собственная функция оператора ns:
(ns) Qyw(n) = Я,ш(М(п)- (16,1)
В спинорном представлении — контравариантный симметричный спинор ранга 2s; согласно формулам соответствия III
(57,2) его компоненты можно перечислять также по отвечающим им значениям проекции спина о на фиксированную ось г ‘).
В импульсном представлении волновые функции рассматриваемых состояний совпадают в основном с амплитудами ц^(р). Именно:
фрл (к) = и(*> (к) (v - п) = (р) 6<2> (v - п), , (16,2)
где импульс как независимая переменная обозначен к, в отличие от его собственного значения р, a v = к/|к|, в отличие от п = = р/]р] 2). В нерелятивистском пределе
i|)n3l (v) = (v) 6m (v — n) = ww (n) 6<2) (v — n). (16,3)
‘j Приведенные рассуждения (как и перечисление возможных значений X) относятся к частицам с отличной от нуля массой. Для частиц с нулевой массой системы покоя не существует, а спиральность может иметь лишь два значения Я, = ±s. Последнее связано с упомянутым уже в § 8 обстоятельством: состояния такой частицы классифицируются по их поведению по отношению к группе аксиальной симметрии, допускающей только двукратное вырождение уровней (с точки зрения свойств волнового уравнения это означает, что при переходе к пределу т -> О система уравнений дли частицы со спином s распадается на независимые уравнения, отвечающие безмассовым частицам со спинами s, s—I, Так, для фотона
