Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Too = \^ik^\k + 'Ь'Ы + tn (-фо-фо + (14,9)
Сохраняющийся 4-вектор плотности тока дается выражением
(НЛО)
Его можно найти согласно формуле (12,12) дифференцирова-
нием лагранжиана (14,5) по производным dMi])v. В частности,
/° = /(ф0%-ф°Ч‘*) (14,11)
и не является существенно положительной величиной.
Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме
% = ^и»е~'рх> = (14,12)
где Ыц—единичный 4-вектор поляризации, удовлетворяющий (в силу (14.3)) условию четырехмерной поперечности
и^ = 0. (14,13)
Действительно, подставив функцию (14,12) в (14,9) и (14,11), получим
Too = — — е, /?-=*= 1.
'74 БОЗОНЫ [ГЛ. и
В противоположность фотону векторная частица с ненулевой массой имеет три независимых направления поляризации. Соответствующие им амплитуды см. (16,21).
Поляризационная матрица плотности для частично поляризованных векторных частиц определяется таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведению
о = и и*
Hiv ц v
(аналогично выражению (8,7) для фотонов). Согласно (14,12—13) она удовлетворяет условиям
= РЦ = -1. (14.14)
Для неполяризованных частиц матрица p^v должна иметь вид
аёцу + Ьрцрч. Определив коэффициенты а и b из (14,14), найдем
в результате
= ^ («„-!?•). (14,15)
Квантование поля векторных частиц производится аналогично скалярному случаю, и нет необходимости повторять заново все рассуждения, ^-операторы векторного поля имеют вид
VIT^^)e~iPX + b>la),elpx),
pa
=Z vr №Ла)'е‘рх+h*<)e~ipx)>
pa
(14,16)
где индекс а нумерует три независимые поляризации.
- Положительная определенность выражения (14,9) для Т00 и неопределенность /° (14,11) приводят, как и в скалярном случае, к необходимости квантования по Бозе.
Существует тесная связь между свойствами истинно нейтрального векторного и электромагнитного полей. Нейтральное векторное поле описывается эрмитовым ^оператором:
V= Z vt (ара<)е~'Р* + ?№)'е‘РХ)- (14> 17)
ра
Лагранжиан этого поля
? = Т +Ж — Т + у • (14,18^
Электромагнитному полю отвечает случай m — 0. При этом 4-вектор г))*1 становится 4-потенциалом Л*1, а 4-тензор ¦ф,п' — тензором поля F^, связанным с потенциалом определением (14,1). Уравнение (14,2) превращается в = 0, что соответствует
§ 16] ЧАСТИЦЫ С ВЫСШИМИ ЦЕЛЫМИ СПИНАМИ 75
второй паре уравнении Максвелла. Из него уже не следует ус-
ловие (14,3), которое, таким образом, перестает быть обязательным. Ввиду отсутствия дополнительного условия нет необходим мости рассматривать в лагранжиане фц и как независимые «координаты», и лагранжиан (14,18) сводится к
A = (Н,19)
в согласии с известным классическим выражением лагранжиана
электромагнитного поля. Этот лагранжиан, вместе с тензором iftiv, инвариантен по отношению к произвольному калибровочному преобразованию «потенциалов» -фи- Ясно видна связь этого обстоятельства с нулевой массой: лагранжиан (14,18) не обладает этим свойством благодаря члену .
§ 15. Волновое уравнение для частиц с высшими целыми спинами
Поскольку волновые уравнения (14,3—4) следуют непосредственно из задания массы и спина частицы, практическое использование лагранжиана сводится не столько к выводу этих уравнений, сколько к построению выражений для энергии, импульса и заряда ноля.
Для этой цели, как уже отмечалось, можно пользоваться вместо (14,5) выражением (14,7), а последнее можно преобразовать еще дальше. Использовав (14,1), переписываем (14,7) в виде
L = — (<?n^v) (<?V) + (dvtil) (d*V) + =
= ~ (dn^v) (d*4v) + m2^11 + дм (ilfod’V') —
В силу (14,3) последний член обращается в нуль, а предпоследний есть полная производная. Опустив ее, получим лагранжиан
L' = — (dnit>v)'(d*V) + (15,1)
Он имеет ту же структуру, что и лагранжиан (10,9) частицы со спином 0, отличаясь лишь заменой скаляра ij; на 4-вектор фц и общим знаком. Последнее связано с тем, что фц— пространственноподобный вектор, так что < 0, в то время как для
скалярной частицы фф* >0.
Если построить 4-тензор энергии-импульса и 4-вектор тока с помощью лагранжиана (15,1), то мы получим выражения того же вида, что и выражения (10,12) и (10,18) для скалярного поля:
Тцм= дцф • <3viK ‘ ^цФл. L .(.15,2)
Jn = — i (15,3)
76
БОЗОНЫ
[ГЛ. Гг
Их отличие от (14,8) и (14,10) тоже сводится к полным производным. Но локальные значения этих величин не имеют (как уже подчеркивалось ранее) глубокого физического смысла. Существенны лишь объемные интегралы Рц (10,15) и Q (10,19), которые будут совпадать при обоих выборах Тцу и /ц.
Такой способ описания непосредственно обобщается на частицы с произвольным (целым) спином. Волновая функция частицы со спином s есть неприводимый 4-тензор ранга s, т. е. тензор, симметричный по всем своим индексам и обращающийся в нуль при упрощении по любой паре индексов:
Этот тензор должен удовлетворять дополнительному условию 4-поперечности:
... = 0, (15,5)
а каждая из его компонент — уравнению второго порядка:
(/?2 —/п2) ф = 0. (15,6)
В системе покоя условие (15,5) приводит к обращению в нуль
всех компонент 4-тензора, среди индексов которых есть 0. Дру-
гими словами, волновая функция в системе покоя (т. е. в нерелятивистском пределе) сводится, как и следовало, к неприводимому 3-тензору ранга s, число независимых компонент которого равно 2s + 1.
